题目
单选题(共10题,100.0分)-|||-10.(10.0分) lim _(xarrow 4)dfrac (sqrt {1+2x)-3}(x-4)= (-|||-A dfrac (2)(3) .-|||-B 2-|||-C dfrac (1)(3)-|||-D dfrac (3)(4)
题目解答
答案
C. $\dfrac {1}{3}$
解析
步骤 1：分子有理化
为了消除根号，我们对分子进行有理化处理。分子乘以它的共轭式，即 $\sqrt{1+2x} + 3$，同时分母也乘以相同的式子，以保持等式的平衡。
步骤 2：简化表达式
分子变为 $(\sqrt{1+2x} - 3)(\sqrt{1+2x} + 3) = (1+2x) - 9 = 2x - 8$，分母变为 $(x-4)(\sqrt{1+2x} + 3)$。
步骤 3：计算极限
将简化后的表达式代入原极限中，得到 $\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {2x-8}{(x-4)(\sqrt {1+2x}+3)}$。由于 $x-4$ 在分子和分母中都存在，可以约去，得到 $\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {2}{\sqrt {1+2x}+3}$。将 $x=4$ 代入，得到 $\dfrac {2}{\sqrt {1+2*4}+3} = \dfrac {2}{3+3} = \dfrac {1}{3}$。
为了消除根号，我们对分子进行有理化处理。分子乘以它的共轭式，即 $\sqrt{1+2x} + 3$，同时分母也乘以相同的式子，以保持等式的平衡。
步骤 2：简化表达式
分子变为 $(\sqrt{1+2x} - 3)(\sqrt{1+2x} + 3) = (1+2x) - 9 = 2x - 8$，分母变为 $(x-4)(\sqrt{1+2x} + 3)$。
步骤 3：计算极限
将简化后的表达式代入原极限中，得到 $\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {2x-8}{(x-4)(\sqrt {1+2x}+3)}$。由于 $x-4$ 在分子和分母中都存在，可以约去，得到 $\lim _{x\rightarrow 4}\dfrac {2}{\sqrt {1+2x}+3}$。将 $x=4$ 代入，得到 $\dfrac {2}{\sqrt {1+2*4}+3} = \dfrac {2}{3+3} = \dfrac {1}{3}$。