把复平面的一个点代入模值方程并使之成立,那这个点一定是根轨迹上的点。A. 正确B. 错误
A. 正确
B. 错误
题目解答
答案
解析
本题考查根轨迹的基本概念。解题思路是明确根轨迹的定义,然后根据定义判断该说法是否正确。
根轨迹是指当系统的某个参数(通常是开环增益)从 0 变化到无穷大时,闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。也就是说,根轨迹上的点必须满足闭环系统特征方程,而不仅仅是代入模值方程成立。
下面详细说明:
设闭环系统的特征方程为 $1 + G(s)H(s)=0$,其中 $G(s)H(s)$ 是开环传递函数。根轨迹上的点 $s$ 要满足 $|G(s)H(s)| = 1$ 且 $\angle G(s)H(s)=(2k + 1)\pi$,$k = 0,\pm1,\pm2,\cdots$。
仅仅满足 $|G(s)H(s)| = 1$ 是不够的,还需要满足相角条件。例如,对于一个简单的开环传递函数 $G(s)=\frac{K}{s + 1}$,其闭环特征方程为 $1+\frac{K}{s + 1}=0$,即 $s=-1 - K$。根轨迹是负实轴上从 $-1$ 到 $-\infty$ 的线段。
假设我们只考虑模值方程 $|G(s)| = 1$,即 $\left|\frac{K}{s + 1}\right| = 1\成立满足相角条件 \(\angle G(s)=(2k + 1)\pi$。对于 $s=-1 - K$,$\angle G(s)=\angle\frac{K}{s + 1}=\angle K-\angle(s + 1)$,当 $s=-1 - K$ 时,$\angle(s + 1)=\pi$,$\angle K = 0$($K>0$),满足相角条件。但如果只看模值方程,可能会找到一些不满足相角条件的点,这些点就不是根轨迹上的点。
所以“把复平面的一个点代入模值方程并使之成立,那这个点一定是根轨迹上的点”这种说法是错误的。