31 单选 (10分) C为x²+y²+z²=a²(a>0)与x+y+z=0的交线，方向与x+y+z=0的法向量(1,1,1)符合右手法则，则 oint_(c)ydx+zdy+xdz=( ).A. -sqrt(3)pi a^2B. pi a^2C. -pi a^2D. sqrt(3)pi a^2

本题考查斯托克斯公式的应用。解题思路是先明确斯托克斯公式的形式，然后确定曲线$C$所围成的曲面$\varSigma$，接着求出曲面$\varSigma$的法向量，再根据斯托克斯公式将曲线积分转化为曲面积分，最后计算曲面积分得出结果。

步骤一：明确斯托克斯公式

斯托克斯公式为$\oint_{C}Pdx + Qdy + Rdz = \iint_{\varSigma}(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz + (\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx + (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$，其中$C$为分段光滑的空间有向闭曲线，$\varSigma$是以$C$为边界的分片光滑的有向曲面，$C$的正向与$\varSigma$的侧符合右手法则。

步骤二：确定$P$、$Q$、$R$并求偏导数

已知$\oint_{C}ydx + zdy + xdz$，则$P = y$，$Q = z$，$R = x$。
分别求偏导数：
$\frac{\partial R}{\partial y}=0$，$\frac{\partial Q}{\partial z}=1$，$\frac{\partial P}{\partial z}=0$，$\frac{\partial R}{\partial x}=1$，$\frac{\partial Q}{\partial x}=0$，$\frac{\partial P}{\partial y}=1$。

步骤三：确定曲面$\varSigma$及其法向量

曲线$C$是$x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(a\gt0)$与$x + y + z = 0$的交线，取$\varSigma$为平面$x + y + z = 0$被球面$x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$所截得的圆面，其法向量$\vec{n}$与平面$x + y + z = 0$的法向量$(1,1,1)$同向，单位法向量$\vec{n}^0 = (\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$。

步骤四：将曲线积分转化为曲面积分

根据斯托克斯公式可得：
$\oint_{C}ydx + zdy + xdz = \iint_{\varSigma}(0 - 1)dydz + (0 - 1)dzdx + (0 - 1)dxdy$
$=-\iint_{\varSigma}dydz + dzdx + dxdy$
由两类曲面积分之间的关系$\iint_{\varSigma}Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = \iint_{\varSigma}(P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma)dS$，其中$\cos\alpha$、$\cos\beta$、$\cos\gamma$是法向量的方向余弦，这里$\cos\alpha = \cos\beta = \cos\gamma = \frac{1}{\sqrt{3}}$，则：
$-\iint_{\varSigma}dydz + dzdx + dxdy = -\iint_{\varSigma}(1\times\frac{1}{\sqrt{3}} + 1\times\frac{1}{\sqrt{3}} + 1\times\frac{1}{\sqrt{3}})dS$
$=-\sqrt{3}\iint_{\varSigma}dS$

步骤五：计算曲面积分

$\iint_{\varSigma}dS$表示曲面$\varSigma$的面积，$\varSigma$是半径为$a$的圆，其面积为$\pi a^{2}$，所以：
$-\sqrt{3}\iint_{\varSigma}dS = -\sqrt{3}\pi a^{2}$