题目

设函数f(x)二阶可导,f'(x)是f'(x)+2f(x)+e^x的一个原函数,且f(0)=0.f'(0)=1求f(x),

题目解答

答案

最佳答案

由题意,
f"(x)=f'(x)+2f(x)+e^x
特征方程为t²=t+2
(t-2)(t+1)=0
得t=2,-1
即齐次方程的解为y1=C1e^(2x)+C2e^(-x)
设特解为y*=ae^x
则y*'=y*"=ae^x
代入方程得：ae^x=ae^x+2ae^x+e^x
得2a+1=0
a=-1/2
故方程通解为f(x)=y1+y*=C1e^(2x)+C2e^(-x)-1/2e^x
f'(x)=2C1e^(2x)-C2e^(-x)-1/2e^x
由初始条件得：
f(0)=C1+C2-1/2=0
f'(0)=2C1-C2-1/2=1
两式相加得：3C1-1=1,得C1=2/3
故C2=1/2-C1=1/2-2/3=-1/6
因此f(x)=2/3e^(2x)-1/6e^(-x)-1/2e^x

解析

步骤 1：确定微分方程
根据题意，f'(x)是f'(x)+2f(x)+e^x的一个原函数，即f''(x)=f'(x)+2f(x)+e^x。这是一个二阶非齐次线性微分方程。

步骤 2：求解齐次方程
首先求解对应的齐次方程f''(x)-f'(x)-2f(x)=0。特征方程为r^2-r-2=0，解得r=2或r=-1。因此，齐次方程的通解为y=C1e^(2x)+C2e^(-x)。

步骤 3：求解非齐次方程
设非齐次方程的特解为y*=ae^x，代入原方程得ae^x=ae^x+2ae^x+e^x，解得a=-1/2。因此，非齐次方程的特解为y*=-1/2e^x。

步骤 4：求解通解
将齐次方程的通解和非齐次方程的特解相加，得到原方程的通解为f(x)=C1e^(2x)+C2e^(-x)-1/2e^x。

步骤 5：应用初始条件
根据初始条件f(0)=0和f'(0)=1，代入通解和其导数，得到方程组：
C1+C2-1/2=0
2C1-C2-1/2=1
解得C1=2/3，C2=-1/6。

步骤 6：确定最终解
将C1和C2的值代入通解，得到f(x)=2/3e^(2x)-1/6e^(-x)-1/2e^x。