题目

若f″（x）不变号，且曲线y=f（x）在点（1，1）上的曲率圆为x2+y2=2，则f（x）在区间（1，2）内（ ）A. 有极值点，无零点B. 无极值点，有零点C. 有极值点，有零点D. 无极值点，无零点 .

若f″（x）不变号，且曲线y=f（x）在点（1，1）上的曲率圆为x2+y2=2，则f（x）在区间（1，2）内（ ）

A. 有极值点，无零点
B. 无极值点，有零点
C. 有极值点，有零点
D. 无极值点，无零点

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题目解答

答案

由题“曲线y=f（x）在点（1，1）上的曲率圆为x2+y2=2”可知：y=f（x）和x2+y2=2在点（1，1）具有相同的切线，且y=f（x）和x2+y2=2在点（1，1）具有相同的曲率
∴y=f（x）和x2+y2=2在点（1，1）具有相同的一、二阶导数
而x2+y2=2在点（1，1）的一阶导数为y'（1）=-1，二阶导数为y''（1）=-2
∴f'（1）=-1，f''（1）=-2又f''（x）不变号
∴f''（x）＜0
∴f′（x）是单调递减的
而f'（1）=-1
∴当1＜x＜2，时，f'（x）≤f'（1）＜0
∴f（x）在（1，2）是单调递减的
∴f（x）在（1，2）无极值点
又由f''（x）＜0知，f（x）是凸函数
∴当1＜x＜2，时，
f(x)−f(1)
x−1
＜f′(1)
∴f（x）＜f（1）+f'（1）（x-1）=2-x
∴f（2）＜0
而f（1）=1＞0
∴在（1，2）上，由零点定理知，f（x）必定存在零点
故选：B．

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解析

步骤 1：确定曲线y=f(x)在点(1,1)的曲率圆
曲线y=f(x)在点(1,1)上的曲率圆为x^2+y^2=2，这意味着在点(1,1)处，曲线y=f(x)和圆x^2+y^2=2具有相同的切线和曲率。因此，它们在该点的一阶导数和二阶导数相等。

步骤 2：计算圆x^2+y^2=2在点(1,1)的一阶导数和二阶导数
对圆x^2+y^2=2进行隐函数求导，得到一阶导数y'=-x/y。在点(1,1)处，y'=-1。对一阶导数进行求导，得到二阶导数y''=-1/y^2。在点(1,1)处，y''=-2。

步骤 3：确定f(x)在点(1,1)的一阶导数和二阶导数
由于曲线y=f(x)和圆x^2+y^2=2在点(1,1)处具有相同的切线和曲率，因此f'(1)=-1，f''(1)=-2。又因为f''(x)不变号，所以f''(x)＜0，即f(x)在(1,2)内是凸函数。

步骤 4：确定f(x)在(1,2)内的极值点和零点
由于f''(x)＜0，f'(x)是单调递减的。在(1,2)内，f'(x)≤f'(1)＜0，因此f(x)在(1,2)内是单调递减的，没有极值点。又因为f(1)=1＞0，f(2)＜0，所以f(x)在(1,2)内有零点。