题目
设 f(x) 在区间 [a,b] 上连续 , 在 (a,b) 可导，证明：在 (a,b) 内至少存在一点 ξ, 使 bf(b)−af(a)b−a=f(ξ)+ξf′(ξ).
设
证明：在
题目解答
答案
构造辅助函数：
则：
从而
则：在
使得：
而：
证毕。
解析
步骤 1：构造辅助函数
构造辅助函数 F(x) = xf(x)，这样可以将原问题转化为关于 F(x) 的问题，便于应用拉格朗日中值定理。
步骤 2：验证 F(x) 的性质
验证 F(x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，这是应用拉格朗日中值定理的前提条件。
步骤 3：应用拉格朗日中值定理
根据拉格朗日中值定理，存在 ξ ∈ (a,b)，使得 F(b)−F(a)b−a=F′(ξ)。
步骤 4：计算 F′(x)
计算 F(x) 的导数 F′(x) = f(x) + xf′(x)。
步骤 5：代入并化简
将 F′(x) 的表达式代入拉格朗日中值定理的结论中，化简得到原问题的结论。
构造辅助函数 F(x) = xf(x)，这样可以将原问题转化为关于 F(x) 的问题，便于应用拉格朗日中值定理。
步骤 2：验证 F(x) 的性质
验证 F(x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，这是应用拉格朗日中值定理的前提条件。
步骤 3：应用拉格朗日中值定理
根据拉格朗日中值定理，存在 ξ ∈ (a,b)，使得 F(b)−F(a)b−a=F′(ξ)。
步骤 4：计算 F′(x)
计算 F(x) 的导数 F′(x) = f(x) + xf′(x)。
步骤 5：代入并化简
将 F′(x) 的表达式代入拉格朗日中值定理的结论中，化简得到原问题的结论。