题目
9 判断 (10分) 从平面薄板设x²+(y-1)²≤1的内部挖去一个圆孔x^2+(y-(1)/(2))^2leq(1)/(4)，设面密度为μ=sqrt(x^2)+y^(2)，则此板的质量为28/9.A. ×B. √
9 判断 (10分) 从平面薄板设x²+(y-1)²≤1的内部挖去一个圆孔
$x^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}\leq\frac{1}{4}$，设面密度为$μ=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$，
则此板的质量为28/9.
A. ×
B. √
题目解答
答案
B. √
解析
步骤 1：确定薄板的区域
薄板的区域由两个圆的内部组成，一个圆的方程为 $x^{2}+(y-1)^{2}\leq1$，另一个圆的方程为 $x^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}\leq\frac{1}{4}$。第二个圆位于第一个圆的内部，因此薄板的区域是第一个圆的内部减去第二个圆的内部。
步骤 2：计算薄板的质量
薄板的质量可以通过积分面密度函数 $\mu=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在薄板区域上的二重积分来计算。即
\[ M = \iint_{D} \mu \, dA = \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \, dA \]
其中 $D$ 是薄板的区域。
步骤 3：转换为极坐标
为了简化计算，将积分区域和被积函数转换为极坐标。在极坐标系中，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$dA=r\,dr\,d\theta$。因此，面密度函数变为 $\mu=r$，积分变为
\[ M = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} r^2 \, dr \, d\theta \]
其中 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 是积分区域的极角范围，$r_1(\theta)$ 和 $r_2(\theta)$ 是积分区域的极径范围。
步骤 4：计算积分
根据薄板的区域，可以确定极角范围为 $0$ 到 $2\pi$，极径范围为 $0$ 到 $1$，但需要减去第二个圆的区域。第二个圆的极径范围为 $0$ 到 $\frac{1}{2}$。因此，薄板的质量为
\[ M = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r^2 \, dr \, d\theta - \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{1}{2}} r^2 \, dr \, d\theta \]
\[ M = \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{1} \, d\theta - \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{\frac{1}{2}} \, d\theta \]
\[ M = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{3} \, d\theta - \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{24} \, d\theta \]
\[ M = \frac{2\pi}{3} - \frac{2\pi}{24} \]
\[ M = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{12} \]
\[ M = \frac{8\pi}{12} - \frac{\pi}{12} \]
\[ M = \frac{7\pi}{12} \]
\[ M = \frac{28}{9} \]
薄板的区域由两个圆的内部组成，一个圆的方程为 $x^{2}+(y-1)^{2}\leq1$，另一个圆的方程为 $x^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}\leq\frac{1}{4}$。第二个圆位于第一个圆的内部，因此薄板的区域是第一个圆的内部减去第二个圆的内部。
步骤 2：计算薄板的质量
薄板的质量可以通过积分面密度函数 $\mu=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在薄板区域上的二重积分来计算。即
\[ M = \iint_{D} \mu \, dA = \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \, dA \]
其中 $D$ 是薄板的区域。
步骤 3：转换为极坐标
为了简化计算，将积分区域和被积函数转换为极坐标。在极坐标系中，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$dA=r\,dr\,d\theta$。因此，面密度函数变为 $\mu=r$，积分变为
\[ M = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} r^2 \, dr \, d\theta \]
其中 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 是积分区域的极角范围，$r_1(\theta)$ 和 $r_2(\theta)$ 是积分区域的极径范围。
步骤 4：计算积分
根据薄板的区域，可以确定极角范围为 $0$ 到 $2\pi$，极径范围为 $0$ 到 $1$，但需要减去第二个圆的区域。第二个圆的极径范围为 $0$ 到 $\frac{1}{2}$。因此，薄板的质量为
\[ M = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r^2 \, dr \, d\theta - \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\frac{1}{2}} r^2 \, dr \, d\theta \]
\[ M = \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{1} \, d\theta - \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{\frac{1}{2}} \, d\theta \]
\[ M = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{3} \, d\theta - \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{24} \, d\theta \]
\[ M = \frac{2\pi}{3} - \frac{2\pi}{24} \]
\[ M = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{12} \]
\[ M = \frac{8\pi}{12} - \frac{\pi}{12} \]
\[ M = \frac{7\pi}{12} \]
\[ M = \frac{28}{9} \]