1. (4.0分) 设overrightarrow(AB)为圆周x^2+y^2=1上自点A(1,0)到点B(0,1)的一段，则int_(AB)xdx= A. int_(1)^0xdx=-(1)/(2) B. int_(0)^(pi)/(2)costhetasintheta dtheta=(1)/(2) C. int_(0)^(pi)/(2)xdx=(pi^2)/(8) D. int_(0)^1xdx=(1)/(2)

为了求解曲线积分 $\int_{AB} x \, dx$，其中 $\overrightarrow{AB}$ 是圆周 $x^2 + y^2 = 1$ 上自点 $A(1,0)$ 到点 $B(0,1)$ 的一段，我们可以使用参数方程来表示圆周上的点。圆周 $x^2 + y^2 = 1$ 可以参数化为 $x = \cos \theta$ 和 $y = \sin \theta$，其中 $\theta$ 从 $0$ 变到 $\frac{\pi}{2}$。 在参数方程中，$dx = -\sin \theta \, d\theta$。因此，曲线积分 $\int_{AB} x \, dx$ 可以转化为定积分： \[ \int_{AB} x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \cdot (-\sin \theta) \, d\theta = -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \sin \theta \, d\theta. \] 接下来，我们计算定积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \sin \theta \, d\theta$。使用二倍角公式 $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$，我们有 $\cos \theta \sin \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta$。因此， \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \sin \theta \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \sin 2\theta \, d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2\theta \, d\theta. \] 令 $u = 2\theta$，则 $du = 2 \, d\theta$，当 $\theta = 0$ 时 $u = 0$，当 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 时 $u = \pi$。因此， \[ \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2\theta \, d\theta = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \sin u \, du = \frac{1}{4} \left[ -\cos u \right]_{0}^{\pi} = \frac{1}{4} \left( -\cos \pi + \cos 0 \right) = \frac{1}{4} \left( 1 + 1 \right) = \frac{1}{2}. \] 所以， \[ \int_{AB} x \, dx = -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \sin \theta \, d\theta = -\frac{1}{2}. \] 因此，正确答案是 $\boxed{A}$。