某线性方程组的增广矩阵D对应的行简化阶梯形矩阵为1 0 -11 -3-|||-D= 0 1 -1-1 -4-|||-0 0 0 0 0判断该线性方程组解的情况,若有解,写出该方程组的解。

考查要点：本题主要考查线性方程组的解的情况判断及求解，涉及行简化阶梯形矩阵的分析、自由变量的确定以及通解的表达。

解题核心思路：

1. 判断解的存在性：检查行简化阶梯形矩阵中是否存在矛盾方程（如$0 = \text{非零常数}$），若不存在则方程组有解。
2. 确定解的结构：根据有效方程的个数与变量个数的差异，判断解的唯一性或无穷多解性。
3. 表达通解：将自由变量参数化，用主变量表示自由变量，写出通解形式。

破题关键点：

• 识别主元与自由变量：主元所在列对应的变量为主变量，其余为自由变量。
• 参数化自由变量：将自由变量设为任意常数，代入方程解出主变量。

步骤1：写出行简化阶梯形矩阵对应的方程组

根据增广矩阵$D$，方程组为：
$\begin{cases}x_1 - x_3 - x_4 = -3 \\x_2 - x_3 - x_4 = -4 \\0 = 0\end{cases}$
关键结论：第三行对应$0=0$，无矛盾，方程组有解。

步骤2：判断解的唯一性

• 变量个数：4个变量（$x_1, x_2, x_3, x_4$）。
• 有效方程个数：2个方程。
• 自由变量数量：$4 - 2 = 2$个（$x_3$和$x_4$为自由变量）。

关键结论：自由变量存在，方程组有无穷多解。

步骤3：求通解

将自由变量$x_3$和$x_4$设为参数$s$和$t$，解出主变量：
$\begin{cases}x_1 = s + t - 3 \\x_2 = s + t - 4 \\x_3 = s \\x_4 = t\end{cases}$
其中$s, t \in \mathbb{R}$。