微分方程(dy)/(dx)=(y)/(x)+tan (y)/(x)的通解为(）。A. sin (y)/(x) = CxB. sin (y)/(x) = (1)/(Cx)C. sin (x)/(y) = CxD. sin (x)/(y) = (1)/(Cx).

考查要点：本题主要考查齐次微分方程的解法，通过变量代换将方程转化为可分离变量的微分方程，进而求解通解。

解题核心思路：

1. 识别齐次方程形式：方程右边仅含$\frac{y}{x}$的函数，可设$v = \frac{y}{x}$，将方程转化为关于$v$和$x$的方程。
2. 分离变量积分：通过代换将方程整理为$\frac{dv}{\tan v} = \frac{dx}{x}$，分别对两边积分。
3. 回代变量：将中间变量$v$替换回$\frac{y}{x}$，得到通解。

破题关键点：

• 正确代换：设$v = \frac{y}{x}$，并正确计算$\frac{dy}{dx}$。
• 分离变量：将方程整理为关于$v$和$x$的可分离形式。
• 积分处理：注意$\int \cot v \, dv = \ln|\sin v|$的积分结果。

步骤1：变量代换
设$v = \frac{y}{x}$，则$y = v x$，根据乘积法则得：
$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$

步骤2：代入原方程
将$y = v x$和$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$代入原方程$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \tan\frac{y}{x}$，得：
$v + x \frac{dv}{dx} = v + \tan v$
两边减去$v$后整理为：
$x \frac{dv}{dx} = \tan v$

步骤3：分离变量并积分
将方程改写为：
$\frac{dv}{\tan v} = \frac{dx}{x}$
利用$\frac{1}{\tan v} = \cot v$，积分得：
$\int \cot v \, dv = \int \frac{1}{x} dx$
计算积分：
$\ln|\sin v| = \ln|x| + C$

步骤4：化简并回代变量
将等式改写为：
$\ln|\sin v| = \ln|Cx|$
取指数消去对数：
$|\sin v| = |Cx|$
去掉绝对值符号（$C$为任意常数）：
$\sin v = Cx$
回代$v = \frac{y}{x}$，得通解：
$\sin\frac{y}{x} = Cx$