设二维随机变量（Ｘ，Ｙ）的概率密度为f(x,y)= ) c(x)^2y,(x)^2leqslant yleqslant 1 0, .（1）确定常数ｃ。（2）求边缘概率密度。

考查要点：本题主要考查二维概率密度函数的归一化条件及边缘概率密度的计算方法。

解题思路：

1. 确定常数c：根据概率密度函数的归一化条件，即积分在整个定义域内等于1，建立方程求解c。
2. 求边缘概率密度：
   • X的边缘密度：对y积分，积分限由$x^2 \leq y \leq 1$确定。
   • Y的边缘密度：对x积分，积分限由$x \in [-\sqrt{y}, \sqrt{y}]$确定。

关键点：

• 积分区域的确定：根据$x^2 \leq y \leq 1$，明确x和y的取值范围。
• 对称性简化计算：利用偶函数性质简化积分运算。

（1）确定常数c

根据归一化条件：
$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx dy = 1$

积分区域：$x \in [-1,1]$（因$y \leq 1$且$x^2 \leq y$），$y \in [x^2, 1]$。

计算步骤：

1. 先对y积分：
   $\int_{x^2}^1 c x^2 y \, dy = c x^2 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{x^2}^1 = c x^2 \left( \frac{1}{2} - \frac{x^4}{2} \right) = \frac{c x^2}{2} (1 - x^4)$

2. 再对x积分（利用偶函数性质）：
   $\int_{-1}^1 \frac{c x^2}{2} (1 - x^4) \, dx = c \int_0^1 x^2 (1 - x^4) \, dx = c \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} \right) = \frac{4c}{21}$

3. 解方程：
   $\frac{4c}{21} = 1 \implies c = \frac{21}{4}$

（2）求边缘概率密度

X的边缘密度$f_X(x)$

积分范围：$y \in [x^2, 1]$，$x \in [-1,1]$。

计算：
$f_X(x) = \int_{x^2}^1 \frac{21}{4} x^2 y \, dy = \frac{21}{8} x^2 (1 - x^4)$

Y的边缘密度$f_Y(y)$

积分范围：$x \in [-\sqrt{y}, \sqrt{y}]$，$y \in [0,1]$。

计算（利用偶函数性质）：
$f_Y(y) = \int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{21}{4} x^2 y \, dx = \frac{21}{2} y \int_0^{\sqrt{y}} x^2 \, dx = \frac{7}{2} y^{\frac{5}{2}}$