题目

设二维随机变量（Ｘ，Ｙ）的概率密度为f(x,y)= ) c(x)^2y,(x)^2leqslant yleqslant 1 0, .（1）确定常数ｃ。（2）求边缘概率密度。

设二维随机变量（Ｘ，Ｙ）的概率密度为

$f(x,y)=\begin{cases}cx^2y,&x^2\leqslant y\leqslant1,\\0,&\text{其他}.\end{cases}$

（1）确定常数ｃ。

（2）求边缘概率密度。

题目解答

答案

（1）∵ $\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=1$

∴ $\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=\int_{0}^{1}dy\int_{-\sqrt{y}}^{+\sqrt{y}}cx^{2}ydx=c\int_{0}^{1}\frac{2}{3}y^{\frac{5}{2}}dy=\frac{4}{21}c＝1$

∴ｃ＝ $\frac{21}{4}$

（2）

X的边缘密度为：

$f_{X}(x)=\left\{\int_{x^{3}}^{1}{\frac{21}{4}}x^{2}ydy={\frac{21}{8}}x^{2}(1-x^{4}),-1\leq x\leq1\atop0,\quad\text{其它}\right.$

Y的边缘密度为：

$f_{Y}\left(y\right)=\left\{\begin{array}{cc}{{\int_{-\sqrt{y}}^{+\sqrt{y}}\frac{21}{4}ｘ^{2}ydx=\frac{7}{2}y^{\frac{5}{2}}}}&{0\leq y\leq1}\\{0}&{0}&{\text{其它}}\end{array}\right.$

解析

步骤 1：确定常数c
根据概率密度函数的性质，整个区域上的积分应等于1。因此，我们首先需要计算给定区域上的积分，然后解出常数c。
步骤 2：计算边缘概率密度
边缘概率密度函数可以通过对联合概率密度函数在另一个变量上积分得到。对于X的边缘概率密度，我们对y积分；对于Y的边缘概率密度，我们对x积分。