6.设一平面过点M_(0)(1,2,-1)且垂直于平面3x-4y+z+16=0和4x-z+6=0，试求这平面方程.

为了找到通过点 $ M_0(1,2,-1) $ 并且垂直于平面 $ 3x - 4y + z + 16 = 0 $ 和 $ 4x - z + 6 = 0 $ 的平面方程，我们可以按照以下步骤进行： 1. **确定给定平面的法向量：** - 平面 $ 3x - 4y + z + 16 = 0 $ 的法向量是 $ \mathbf{n}_1 = (3, -4, 1) $。 - 平面 $ 4x - z + 6 = 0 $ 的法向量是 $ \mathbf{n}_2 = (4, 0, -1) $。 2. **找到所求平面的法向量：** 所求平面的法向量 $ \mathbf{n} $ 必须与 $ \mathbf{n}_1 $ 和 $ \mathbf{n}_2 $ 都垂直。因此，我们可以使用 $ \mathbf{n}_1 $ 和 $ \mathbf{n}_2 $ 的叉积来找到 $ \mathbf{n} $： \[ \mathbf{n} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -4 & 1 \\ 4 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-4)(-1) - (1)(0)) - \mathbf{j}((3)(-1) - (1)(4)) + \mathbf{k}((3)(0) - (-4)(4)) \] \[ \mathbf{n} = \mathbf{i}(4) - \mathbf{j}(-3 - 4) + \mathbf{k}(0 + 16) = 4\mathbf{i} + 7\mathbf{j} + 16\mathbf{k} = (4, 7, 16) \] 3. **使用点法向量形式写出平面方程：** 通过点 $ M_0(1, 2, -1) $ 并且法向量为 $ \mathbf{n} = (4, 7, 16) $ 的平面方程为： \[ 4(x - 1) + 7(y - 2) + 16(z + 1) = 0 \] 展开并简化： \[ 4x - 4 + 7y - 14 + 16z + 16 = 0 \] \[ 4x + 7y + 16z - 4 - 14 + 16 = 0 \] \[ 4x + 7y + 16z - 13 = 0 \] 因此，所求平面的方程为： \[ \boxed{4x + 7y + 16z - 13 = 0} \]