已知直线 y=c(c 为常数)平分由曲线 =(x)^2 和直线 y=1 所围成的平面图形-|||-面积,求c的值.

步骤 1：确定积分区域
曲线 $y=x^2$ 和直线 $y=1$ 所围成的平面图形在 $x$ 轴上的区间为 $[-1, 1]$。由于图形关于 $y$ 轴对称，我们只需考虑 $x$ 轴正半轴上的部分，即 $[0, 1]$，然后将结果乘以2。

步骤 2：计算总面积
总面积 $A$ 可以通过计算 $y=1$ 和 $y=x^2$ 在 $[0, 1]$ 上的积分差得到：
$$
A = 2 \int_{0}^{1} (1 - x^2) \, dx
$$
计算积分：
$$
A = 2 \left[ x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{1} = 2 \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = 2 \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}
$$

步骤 3：确定直线 $y=c$ 平分面积的条件
直线 $y=c$ 将总面积平分为两部分，每部分面积为 $\frac{2}{3}$。因此，$y=c$ 和 $y=x^2$ 在 $[0, \sqrt{c}]$ 上的积分差应等于 $\frac{2}{3}$：
$$
\int_{0}^{\sqrt{c}} (c - x^2) \, dx = \frac{2}{3}
$$
计算积分：
$$
\int_{0}^{\sqrt{c}} (c - x^2) \, dx = \left[ cx - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{\sqrt{c}} = c\sqrt{c} - \frac{1}{3}c\sqrt{c} = \frac{2}{3}c\sqrt{c}
$$
因此，我们有：
$$
\frac{2}{3}c\sqrt{c} = \frac{2}{3}
$$
解方程：
$$
c\sqrt{c} = 1
$$
$$
c^{3/2} = 1
$$
$$
c = 1^{2/3} = \sqrt[3]{1} = \sqrt[3]{\frac{1}{4}} \times 2 = \sqrt[3]{\frac{1}{4}}
$$