11【简答题】求由y=x^3,x=2,y=0所围成的图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积.

为了求由 $y = x^3$, $x = 2$, $y = 0$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体的体积，我们可以使用定积分的求体积方法，具体步骤如下： 1. 确定积分区间: - 由 $y = x^3$ 和 $y = 0$ 的交点 $(0,0)$ 以及 $x = 2$ 可知，积分区间为 $[0, 2]$. 2. 使用圆盘法: - 由于图形是绕 $x$ 轴旋转，我们使用圆盘法。圆盘的半径 $R(x)$ 为 $y = x^3$. 3. 设置积分: - 旋转体的体积 $V$ 可以表示为: $V = \pi \int_{a}^{b} [R(x)]^2 \, dx$ - 这里 $a = 0$, $b = 2$, $R(x) = x^3$. 代入公式得: $V = \pi \int_{0}^{2} (x^3)^2 \, dx = \pi \int_{0}^{2} x^6 \, dx$ 4. 计算积分: - 计算 $\int_{0}^{2} x^6 \, dx$: $\int_{0}^{2} x^6 \, dx = \left[ \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{2} = \frac{2^7}{7} - \frac{0^7}{7} = \frac{128}{7}$ 5. 乘以 $\pi$ : - 将结果乘以 $\pi$: $V = \pi \cdot \frac{128}{7} = \frac{128\pi}{7}$ 因此，由 $y = x^3$, $x = 2$, $y = 0$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 $\boxed{\frac{128\pi}{7}}$.