题目
φ(x,y,z)=x^2+3 y+xz，该函数在φ(x,y,z)=x^2+3 y+xz处方向导数的最大值为( ).
，该函数在
处方向导数的最大值为( ).
题目解答
答案
解：已知函数，
要求函数
在处方向导数的最大值，即求函数在处的梯度的模，
分别对
，
，
求偏导数，得：
，
，
，
在处，
，
，
，
则函数在处的梯度为：
，
所以
，故函数在处方向导数的最大值为
.
故答案为：.
解析
步骤 1：求函数$\varphi (x,y,z)$的偏导数
函数$\varphi (x,y,z)={x}^{2}+3y+xz$，分别对$x$，$y$，$z$求偏导数，得：
$\varphi '_{x}=2x+z$，$\varphi '_{y}=3$，$\varphi '_{z}=x$。
步骤 2：计算函数$\varphi (x,y,z)$在(2,1,2)处的梯度
在(2,1,2)处，$\varphi '_{x}(2,1,2)=2*2+2=6$，$\varphi '_{y}(2,1,2)=3$，$\varphi '_{z}(2,1,2)=2$，
则函数$\varphi (x,y,z)$在(2,1,2)处的梯度为：$grad\varphi =(6,3,2)$。
步骤 3：计算梯度的模
$|\lg rad||=\sqrt {{6}^{2}+{3}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt {49}=7$。
函数$\varphi (x,y,z)={x}^{2}+3y+xz$，分别对$x$，$y$，$z$求偏导数，得：
$\varphi '_{x}=2x+z$，$\varphi '_{y}=3$，$\varphi '_{z}=x$。
步骤 2：计算函数$\varphi (x,y,z)$在(2,1,2)处的梯度
在(2,1,2)处，$\varphi '_{x}(2,1,2)=2*2+2=6$，$\varphi '_{y}(2,1,2)=3$，$\varphi '_{z}(2,1,2)=2$，
则函数$\varphi (x,y,z)$在(2,1,2)处的梯度为：$grad\varphi =(6,3,2)$。
步骤 3：计算梯度的模
$|\lg rad||=\sqrt {{6}^{2}+{3}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt {49}=7$。