题目
设3 2 -1 4-|||-1 5 0 -1-|||-2 -1 3 2-|||-4 9 2 1，3 2 -1 4-|||-1 5 0 -1-|||-2 -1 3 2-|||-4 9 2 1,3 2 -1 4-|||-1 5 0 -1-|||-2 -1 3 2-|||-4 9 2 1分别为3 2 -1 4-|||-1 5 0 -1-|||-2 -1 3 2-|||-4 9 2 1的余子式和代数余子式，计算3 2 -1 4-|||-1 5 0 -1-|||-2 -1 3 2-|||-4 9 2 1.
设
，
,
分别为
的余子式和代数余子式，计算
.
题目解答
答案
∵
∴
其值等于系数-1、-2、1、2替换原行列式第二列后的新行列式的值：
将第一行的3倍加到第三行，2倍加到第四行可得：
；
用第三列的代数余子式计算可得：
；
将第一行的-1倍加到第二行可得：
；
用第二列的代数余子式计算可得：
；
用第一行的-1倍加到第二行可得：
；
故本题的答案是：-140。
解析
步骤 1：理解余子式和代数余子式的定义
余子式$M_{ij}$是行列式$D$中去掉第$i$行和第$j$列后剩余元素构成的行列式。代数余子式$A_{ij}$是余子式$M_{ij}$乘以$(-1)^{i+j}$。
步骤 2：计算${M}_{12}-2{M}_{22}+{A}_{32}+2{A}_{42}$
根据定义，${M}_{12}=-{A}_{12}$，${M}_{22}={A}_{22}$。因此，${M}_{12}-2{M}_{22}+{A}_{32}+2{A}_{42}=-{A}_{12}-2{A}_{22}+{A}_{32}+2{A}_{42}$。其值等于系数-1、-2、1、2替换原行列式第二列后的新行列式的值。
步骤 3：计算新行列式的值
将第一行的3倍加到第三行，2倍加到第四行可得：
；
用第三列的代数余子式计算可得：
；
将第一行的-1倍加到第二行可得：
；
用第二列的代数余子式计算可得：
；
用第一行的-1倍加到第二行可得：
$=2\times 10\times (-7)$
$=20\times (-7)-(-7)$
=-140；
余子式$M_{ij}$是行列式$D$中去掉第$i$行和第$j$列后剩余元素构成的行列式。代数余子式$A_{ij}$是余子式$M_{ij}$乘以$(-1)^{i+j}$。
步骤 2：计算${M}_{12}-2{M}_{22}+{A}_{32}+2{A}_{42}$
根据定义，${M}_{12}=-{A}_{12}$，${M}_{22}={A}_{22}$。因此，${M}_{12}-2{M}_{22}+{A}_{32}+2{A}_{42}=-{A}_{12}-2{A}_{22}+{A}_{32}+2{A}_{42}$。其值等于系数-1、-2、1、2替换原行列式第二列后的新行列式的值。
步骤 3：计算新行列式的值
将第一行的3倍加到第三行，2倍加到第四行可得：
；
用第三列的代数余子式计算可得：
；
将第一行的-1倍加到第二行可得：
；
用第二列的代数余子式计算可得：
；
用第一行的-1倍加到第二行可得：
$=2\times 10\times (-7)$
$=20\times (-7)-(-7)$
=-140；