题目
(7)下列说法中错误的是 ( )。A. 若级数 sum_(n=1)^inftyu_(n), sum_(n=1)^inftyv_(n)都绝对收敛,则 sum_(n=1)^infty(u_(n)+v_(n))必绝对收敛B. 若级数 sum_(n=1)^inftyu_(n)^2, sum_(n=1)^inftyv_(n)^2都收敛,则 sum_(n=1)^infty(u_(n)+v_(n))^2收敛C. 若级数 sum_(n=1)^inftyu_(n)绝对收敛,则 sum_(n=1)^infty( |u_(n)|+u_(n))收敛D. 若级数 sum_(n=1)^inftyu_(n)条件收敛,则 sum_(n=1)^infty( |u_(n)|+u_(n))收敛
(7)下列说法中错误的是 ( )。
A. 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$, $\sum_{n=1}^{\infty}v_{n}$都绝对收敛,则 $\sum_{n=1}^{\infty}(u_{n}+v_{n})$必绝对收敛
B. 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}^{2}$, $\sum_{n=1}^{\infty}v_{n}^{2}$都收敛,则 $\sum_{n=1}^{\infty}(u_{n}+v_{n})^{2}$收敛
C. 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$绝对收敛,则 $\sum_{n=1}^{\infty}( |u_{n}|+u_{n})$收敛
D. 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$条件收敛,则 $\sum_{n=1}^{\infty}( |u_{n}|+u_{n})$收敛
题目解答
答案
D. 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$条件收敛,则 $\sum_{n=1}^{\infty}( |u_{n}|+u_{n})$收敛
解析
步骤 1：分析选项A
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}v_{n}$ 都绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}|u_{n}|$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}|v_{n}|$ 收敛。根据绝对收敛的性质，$\sum_{n=1}^{\infty}|u_{n}+v_{n}| \leq \sum_{n=1}^{\infty}(|u_{n}|+|v_{n}|)$ 收敛，因此 $\sum_{n=1}^{\infty}(u_{n}+v_{n})$ 必绝对收敛。
步骤 2：分析选项B
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}^{2}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}v_{n}^{2}$ 都收敛，利用不等式 $|u_{n}v_{n}| \leq \frac{1}{2}(u_{n}^{2} + v_{n}^{2})$，可知 $\sum_{n=1}^{\infty}|u_{n}v_{n}|$ 收敛。因此 $\sum_{n=1}^{\infty}(u_{n}+v_{n})^{2} = \sum_{n=1}^{\infty}(u_{n}^{2} + 2u_{n}v_{n} + v_{n}^{2})$ 收敛。
步骤 3：分析选项C
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$ 绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}|u_{n}|$ 收敛。由于 $\sum_{n=1}^{\infty}( |u_{n}|+u_{n})$ 是收敛级数的和，因此 $\sum_{n=1}^{\infty}( |u_{n}|+u_{n})$ 收敛。
步骤 4：分析选项D
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$ 条件收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}|u_{n}|$ 发散。考虑 $|u_{n}| + u_{n}$，当 $u_{n} \geq 0$ 时为 $2|u_{n}|$，当 $u_{n} < 0$ 时为0。由于正项部分发散，$\sum_{n=1}^{\infty}(|u_{n}| + u_{n})$ 发散，因此D错误。
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}v_{n}$ 都绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}|u_{n}|$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}|v_{n}|$ 收敛。根据绝对收敛的性质，$\sum_{n=1}^{\infty}|u_{n}+v_{n}| \leq \sum_{n=1}^{\infty}(|u_{n}|+|v_{n}|)$ 收敛，因此 $\sum_{n=1}^{\infty}(u_{n}+v_{n})$ 必绝对收敛。
步骤 2：分析选项B
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}^{2}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}v_{n}^{2}$ 都收敛，利用不等式 $|u_{n}v_{n}| \leq \frac{1}{2}(u_{n}^{2} + v_{n}^{2})$，可知 $\sum_{n=1}^{\infty}|u_{n}v_{n}|$ 收敛。因此 $\sum_{n=1}^{\infty}(u_{n}+v_{n})^{2} = \sum_{n=1}^{\infty}(u_{n}^{2} + 2u_{n}v_{n} + v_{n}^{2})$ 收敛。
步骤 3：分析选项C
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$ 绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}|u_{n}|$ 收敛。由于 $\sum_{n=1}^{\infty}( |u_{n}|+u_{n})$ 是收敛级数的和，因此 $\sum_{n=1}^{\infty}( |u_{n}|+u_{n})$ 收敛。
步骤 4：分析选项D
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$ 条件收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}|u_{n}|$ 发散。考虑 $|u_{n}| + u_{n}$，当 $u_{n} \geq 0$ 时为 $2|u_{n}|$，当 $u_{n} < 0$ 时为0。由于正项部分发散，$\sum_{n=1}^{\infty}(|u_{n}| + u_{n})$ 发散，因此D错误。