题目

3.设非齐次线性方程组为}x_(1)+x_(2)+2x_(3)+3x_(4)=1x_(1)+3x_(2)+6x_(3)+x_(4)=33x_(1)-x_(2)-px_(3)+15x_(4)=3x_(1)-5x_(2)-10x_(3)+12x_(4)=t,则p,t为何值时,方程组无解?有无穷多解?有唯一解?并求出有无穷多解时的通解.

3.设非齐次线性方程组为$\begin{cases}x_{1}+x_{2}+2x_{3}+3x_{4}=1\\x_{1}+3x_{2}+6x_{3}+x_{4}=3\\3x_{1}-x_{2}-px_{3}+15x_{4}=3\\x_{1}-5x_{2}-10x_{3}+12x_{4}=t\end{cases}$,则p,t为何值时,方程组无解?有无穷多解?有唯一解?并求出有无穷多解时的通解.

题目解答

答案

对增广矩阵 $\bar{A}$ 进行初等行变换，得到：
$\bar{A} \sim \begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 3 & 1 \\0 & 1 & 2 & -1 & 1 \\0 & 0 & 2-p & 2 & 4 \\0 & 0 & 0 & 3 & t+5\end{pmatrix}$

情况分析：

  1. 唯一解：当 $p \neq 2$ 时，$r(A) = r(\bar{A}) = 4$，方程组有唯一解。
  2. 无解：当 $p = 2$ 且 $t \neq 1$ 时，$r(A) = 3$，$r(\bar{A}) = 4$，方程组无解。
  3. 无穷多解：当 $p = 2$ 且 $t = 1$ 时，$r(A) = r(\bar{A}) = 3$，方程组有无穷多解。通解为：
    $\boxed{ \begin{pmatrix} -8 \\ 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} }$
    其中 $k$ 为任意常数。

解析

本题考查非齐次线性方程组解的情况判定以及通解的求解，解题思路是先对增广矩阵进行初等行变换化为行阶梯形矩阵，再根据系数矩阵和增广矩阵的秩的关系来判断方程组解的情况，最后在有无穷多解时求出通解。

  1. 对增广矩阵进行初等行变换：
    已知非齐次线性方程组的增广矩阵$\bar{A}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 3 & 1 \\1 & 3 & 6 & 1 & 3 \\3 & -1 & -p & 15 & 3 \\1 & -5 & -10 & 12 & t\end{pmatrix}$。
    • 第二行减去第一行，第三行减去第一行的$3$倍，第四行减去第一行，可得：
      $\bar{A}\sim\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 3 & 1 \\0 & 2 & 4 & -2 & 2 \\0 & -4 & -p - 6 & 6 & 0 \\0 & -6 & -12 & 9 & t - 1\end{pmatrix}$
    • 第二行除以$2$，可得：
      $\bar{A}\sim\begin{pmatrix}1 & 1 & 2 & 3 & 1 \\0 & 1 & 2 & -1 & 1 \\0 & -4 & -p - 6 & 6 & 0 \\0 & -6 & -12 & 9 & t - 1\end{pmatrix}$
    • 第一行减去第二行，第三行加上第二行的$4$倍，第四行加上第二行的$6$倍，可得：
      $\bar{A}\sim\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 4 & 0 \\0 & 1 & 2 & -1 & 1 \\0 & 0 & 2 - p & 2 & 4 \\0 & 0 & 0 & 3 & t + 5\end{pmatrix}$
  2. 根据秩的关系判断解的情况：
    • 唯一解：
      当$p\neq 2$时，系数矩阵$A$的秩$r(A)=4$，增广矩阵$\bar{A}$的秩$r(\bar{A}) = 4$，因为$r(A) = r(\bar{A}) = 4$（未知数个数），所以方程组有唯一解。
    • 无解：
      当$p = 2$时，增广矩阵变为$\bar{A}\sim\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 4 & 0 \\0 & 1 & 2 & -1 & 1 \\0 & 0 & 0 & 2 & 4 \\0 & 0 & 0 & 3 & t + 5\end{pmatrix}$。
      此时，若$t\neq 1$，则$r(A) = 3$，$r(\bar{A}) = 4$，因为$r(A)\neq r(\bar{A})$，所以方程组无解。
    • 无穷多解：
      当$p = 2$且$t = 1$时，增广矩阵变为$\bar{A}\sim\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 4 & 0 \\0 & 1 & 2 & -1 & 1 \\0 & 0 & 0 & 2 & 4 \\0 & 0 & 0 & 3 & 6\end{pmatrix}$。
      进一步化简，第四行减去第三行的$\frac{3}{2}$倍，可得$\bar{A}\sim\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 4 & 0 \\0 & 1 & 2 & -1 & 1 \\0 & 0 & 0 & 2 & 4 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$。
      此时$r(A) = r(\bar{A}) = 3\lt 4$（未知数个数），所以方程组有无穷多解。
  3. 求无穷多解时的通解：
    当$p = 2$且$t = 1$时，对应的同解方程组为$\begin{cases}x_{1}+4x_{4}=0\\x_{2}+2x_{3}-x_{4}=1\\2x_{4}=4\end{cases}$。
    由$2x_{4}=4$，解得$x_{4}=2$。
    将$x_{4}=2$代入$x_{1}+4x_{4}=0$，可得$x_{1}=-8$。
    将$x_{4}=2$代入$x_{2}+2x_{3}-x_{4}=1$，可得$x_{2}=3 - 2x_{3}$。
    令$x_{3}=k$（$k$为任意常数），则$x_{2}=3 - 2k$。
    所以通解为$\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8\\3\\0\\2\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}0\\-2\\1\\0\end{pmatrix}$，其中$k$为任意常数。