[题目] int dfrac (x+sin x)(1+cos x)dx,

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，涉及分部积分法、三角恒等式的应用以及积分拆分技巧。

解题核心思路：

1. 拆分积分：将分子拆分为$x$和$\sin x$两部分，分别处理。
2. 分部积分：对$\int \frac{x}{1+\cos x}dx$应用分部积分，利用$1+\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$简化分母。
3. 三角恒等式：将$\frac{\sin x}{1+\cos x}$转化为$\tan\frac{x}{2}$，简化积分。
4. 抵消项：通过分部积分和拆分，中间的积分项相互抵消，最终结果简洁。

拆分积分

将原积分拆分为两部分：
$\int \frac{x+\sin x}{1+\cos x}dx = \int \frac{x}{1+\cos x}dx + \int \frac{\sin x}{1+\cos x}dx$

处理第一部分积分

分部积分：

1. 分母简化：利用$1+\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2}$，得：
   $\int \frac{x}{1+\cos x}dx = \int x \cdot \sec^2\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2}dx = \frac{1}{2}\int x \sec^2\frac{x}{2}dx$
2. 分部积分公式：设$u = x$，$dv = \sec^2\frac{x}{2}dx$，则$du = dx$，$v = 2\tan\frac{x}{2}$，得：
   $\frac{1}{2}\left( x \cdot 2\tan\frac{x}{2} - \int 2\tan\frac{x}{2}dx \right) = x\tan\frac{x}{2} - \int \tan\frac{x}{2}dx$

处理第二部分积分

三角恒等式：
利用$\frac{\sin x}{1+\cos x} = \tan\frac{x}{2}$，得：
$\int \frac{\sin x}{1+\cos x}dx = \int \tan\frac{x}{2}dx$

合并结果

将两部分积分相加：
$x\tan\frac{x}{2} - \int \tan\frac{x}{2}dx + \int \tan\frac{x}{2}dx = x\tan\frac{x}{2} + C$
关键抵消：中间的$\int \tan\frac{x}{2}dx$项相互抵消，最终结果仅剩$x\tan\frac{x}{2} + C$。