lim _(narrow infty )(tan )^n(dfrac (pi )(4)+dfrac (2)(n)) __-|||-__

步骤 1：利用和角公式
首先，我们利用和角公式来简化 $\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{2}{n})$。根据和角公式，我们有：
$$\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{2}{n}) = \frac{\tan(\frac{\pi}{4}) + \tan(\frac{2}{n})}{1 - \tan(\frac{\pi}{4})\tan(\frac{2}{n})}$$
由于 $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$，代入上式得到：
$$\tan(\frac{\pi}{4} + \frac{2}{n}) = \frac{1 + \tan(\frac{2}{n})}{1 - \tan(\frac{2}{n})}$$
步骤 2：分析极限
接下来，我们分析 $\lim_{n\rightarrow \infty} \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{2}{n})$。由于 $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2}{n} = 0$，我们有：
$$\lim_{n\rightarrow \infty} \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{2}{n}) = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1 + \tan(\frac{2}{n})}{1 - \tan(\frac{2}{n})}$$
步骤 3：利用等价无穷小
由于 $\tan(\frac{2}{n}) \sim \frac{2}{n}$ 当 $n \rightarrow \infty$，我们可以将 $\tan(\frac{2}{n})$ 替换为 $\frac{2}{n}$，得到：
$$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1 + \frac{2}{n}}{1 - \frac{2}{n}} = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{n + 2}{n - 2} = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1 + \frac{2}{n}}{1 - \frac{2}{n}} = 1$$
步骤 4：计算极限
最后，我们计算 $\lim_{n\rightarrow \infty} {\tan}^{n}(\frac{\pi}{4} + \frac{2}{n})$。由于 $\lim_{n\rightarrow \infty} \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{2}{n}) = 1$，我们有：
$$\lim_{n\rightarrow \infty} {\tan}^{n}(\frac{\pi}{4} + \frac{2}{n}) = \lim_{n\rightarrow \infty} (1 + \frac{2}{n})^{n}$$
根据指数函数的极限性质，我们有：
$$\lim_{n\rightarrow \infty} (1 + \frac{2}{n})^{n} = e^{2}$$