下列函数列f_n(x)在(-infty, infty)上不一致收敛的是() A. f_n(x)= (sin nx)/(n!)B. f_n(x)= sin (x)/(n)C. f_n(x)= (x)/(1 + nx^2)D. f_n(x)= (x)/(1 + n^2x^2)

为了确定哪个函数列在$(- \infty, + \infty)$上不一致收敛，我们需要分析每个函数列的收敛性。一个函数列$\{f_n(x)\}$在$(- \infty, + \infty)$上一致收敛到函数$f(x)$，如果对于每一个$\epsilon > 0$，存在一个正整数$N$，使得对于所有$n \geq N$和所有$x \in (- \infty, + \infty)$，我们有$|f_n(x) - f(x)| < \epsilon$。 让我们分析每个选项： **选项A: $f_n(x) = \frac{\sin nx}{n!}$** 当$n \to \infty$时，$n! \to \infty$，所以对于所有$x$，$f_n(x) \to 0$。函数列逐点收敛到$f(x) = 0$。为了检查一致收敛性，我们需要找到$\sup_{x \in (-\infty, \infty)} |f_n(x) - 0| = \sup_{x \in (-\infty, \infty)} \left| \frac{\sin nx}{n!} \right|$。由于$|\sin nx| \leq 1$，我们有$\left| \frac{\sin nx}{n!} \right| \leq \frac{1}{n!}$。当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n!} \to 0$。因此，函数列在$(- \infty, + \infty)$上一致收敛到0。 **选项B: $f_n(x) = \sin \frac{x}{n}$** 当$n \to \infty$时，$\frac{x}{n} \to 0$，所以对于所有$x$，$f_n(x) \to \sin 0 = 0$。函数列逐点收敛到$f(x) = 0$。为了检查一致收敛性，我们需要找到$\sup_{x \in (-\infty, \infty)} |f_n(x) - 0| = \sup_{x \in (-\infty, \infty)} \left| \sin \frac{x}{n} \right|$。由于$|\sin \frac{x}{n}| \leq 1$且$\sin \frac{x}{n} = 1$当$\frac{x}{n} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$（对于某个整数$k$），我们有$\sup_{x \in (-\infty, \infty)} \left| \sin \frac{x}{n} \right| = 1$。这个上界不依赖于$n$，所以函数列在$(- \infty, + \infty)$上不一致收敛到0。 **选项C: $f_n(x) = \frac{x}{1 + n^2 x^2}$** 当$n \to \infty$时，$n^2 x^2 \to \infty$对于$x \neq 0$，所以对于所有$x$，$f_n(x) \to 0$。函数列逐点收敛到$f(x) = 0$。为了检查一致收敛性，我们需要找到$\sup_{x \in (-\infty, \infty)} |f_n(x) - 0| = \sup_{x \in (-\infty, \infty)} \left| \frac{x}{1 + n^2 x^2} \right|$。为了找到最大值，我们对$f_n(x)$求导并设其为零： \[ f_n'(x) = \frac{(1 + n^2 x^2) - x(2 n^2 x)}{(1 + n^2 x^2)^2} = \frac{1 - n^2 x^2}{(1 + n^2 x^2)^2}. \] 设$f_n'(x) = 0$，我们得到$x = \pm \frac{1}{n}$。在这些点上计算$f_n(x)$，我们得到： \[ f_n\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{\frac{1}{n}}{1 + n^2 \left(\frac{1}{n}\right)^2} = \frac{\frac{1}{n}}{2} = \frac{1}{2n}, \] \[ f_n\left(-\frac{1}{n}\right) = \frac{-\frac{1}{n}}{1 + n^2 \left(-\frac{1}{n}\right)^2} = \frac{-\frac{1}{n}}{2} = -\frac{1}{2n}. \] 因此，$\sup_{x \in (-\infty, \infty)} \left| \frac{x}{1 + n^2 x^2} \right| = \frac{1}{2n}$。当$n \to \infty$时，$\frac{1}{2n} \to 0$。因此，函数列在$(- \infty, + \infty)$上一致收敛到0。 **选项D: $f_n(x) = \frac{x}{1 + n^2 x^2}$** 这是与选项C相同的函数列，所以我们得出相同的结论。函数列在$(- \infty, + \infty)$上一致收敛到0。 根据分析，函数列在$(- \infty, + \infty)$上不一致收敛的是$\boxed{B}$。