题目
设D是由=(y)^2及=(y)^2所围成的平面区域,则=(y)^2_____.
设D是由
及
所围成的平面区域,则
_____.
题目解答
答案
0.
解析
步骤 1：确定积分区域D
D是由$x=y^{2}$及$x=1+\sqrt{1-y^{2}}$所围成的平面区域。首先，我们确定这两个曲线的交点。令$x=y^{2}=1+\sqrt{1-y^{2}}$，解得$y=0$，因此交点为$(0,0)$和$(1,0)$。因此，积分区域D在y轴上的范围是$-1\leq y\leq 1$，在x轴上的范围是$y^{2}\leq x\leq 1+\sqrt{1-y^{2}}$。
步骤 2：计算二重积分
根据二重积分的定义，我们有
$$\iint_{D}\frac{\sin(xy)}{x}dxdy=\int_{-1}^{1}\int_{y^{2}}^{1+\sqrt{1-y^{2}}}\frac{\sin(xy)}{x}dxdy$$
由于$\frac{\sin(xy)}{x}$关于x是奇函数，而积分区域D关于y轴对称，因此整个二重积分的值为0。
D是由$x=y^{2}$及$x=1+\sqrt{1-y^{2}}$所围成的平面区域。首先，我们确定这两个曲线的交点。令$x=y^{2}=1+\sqrt{1-y^{2}}$，解得$y=0$，因此交点为$(0,0)$和$(1,0)$。因此，积分区域D在y轴上的范围是$-1\leq y\leq 1$，在x轴上的范围是$y^{2}\leq x\leq 1+\sqrt{1-y^{2}}$。
步骤 2：计算二重积分
根据二重积分的定义，我们有
$$\iint_{D}\frac{\sin(xy)}{x}dxdy=\int_{-1}^{1}\int_{y^{2}}^{1+\sqrt{1-y^{2}}}\frac{\sin(xy)}{x}dxdy$$
由于$\frac{\sin(xy)}{x}$关于x是奇函数，而积分区域D关于y轴对称，因此整个二重积分的值为0。