题目
.1-27 在半径为R的圆周上运动的质点,其速率与时间的关系为 =c(t)^2 ,式-|||-中c为常量.求:(1)从 t=0 时刻到t时刻质点经过的路程s(t );(2)在t时刻质-|||-点的切向加速度a1和法向加速度an
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算路程s(t)
根据题目给出的速率与时间的关系 $v=c{t}^{2}$，我们可以通过积分来计算从 t=0 时刻到t时刻质点经过的路程s(t)。速率v是路程s对时间t的导数，即 $v=\dfrac {ds}{dt}$。因此，我们有：
$$
v = c{t}^{2} = \dfrac {ds}{dt}
$$
分离变量后，我们得到：
$$
ds = c{t}^{2}dt
$$
对两边进行积分，从 t=0 到 t，得到：
$$
{\int }_{0}^{s}ds = {\int }_{0}^{t}c{t}^{2}dt
$$
步骤 2：计算切向加速度a1
切向加速度a1是速率v对时间t的导数，即 $a_1 = \dfrac {dv}{dt}$。因此，我们有：
$$
a_1 = \dfrac {dv}{dt} = \dfrac {d}{dt}(c{t}^{2}) = 2ct
$$
步骤 3：计算法向加速度an
法向加速度an是速率v的平方除以半径R，即 $a_n = \dfrac {v^2}{R}$。因此，我们有：
$$
a_n = \dfrac {v^2}{R} = \dfrac {(c{t}^{2})^2}{R} = \dfrac {c^2{t}^{4}}{R}
$$
根据题目给出的速率与时间的关系 $v=c{t}^{2}$，我们可以通过积分来计算从 t=0 时刻到t时刻质点经过的路程s(t)。速率v是路程s对时间t的导数，即 $v=\dfrac {ds}{dt}$。因此，我们有：
$$
v = c{t}^{2} = \dfrac {ds}{dt}
$$
分离变量后，我们得到：
$$
ds = c{t}^{2}dt
$$
对两边进行积分，从 t=0 到 t，得到：
$$
{\int }_{0}^{s}ds = {\int }_{0}^{t}c{t}^{2}dt
$$
步骤 2：计算切向加速度a1
切向加速度a1是速率v对时间t的导数，即 $a_1 = \dfrac {dv}{dt}$。因此，我们有：
$$
a_1 = \dfrac {dv}{dt} = \dfrac {d}{dt}(c{t}^{2}) = 2ct
$$
步骤 3：计算法向加速度an
法向加速度an是速率v的平方除以半径R，即 $a_n = \dfrac {v^2}{R}$。因此，我们有：
$$
a_n = \dfrac {v^2}{R} = \dfrac {(c{t}^{2})^2}{R} = \dfrac {c^2{t}^{4}}{R}
$$