题目
设A= (} 1& -1& 1 2& 4& x -3& -3& 5 ) .( )A. 2 B. -2 C. 4 D. -4
设
,A有特征值
,且A有三个线性无关的特征向量,则
( )
B. -2
C. 4
D. -4
题目解答
答案
B. -2
解析
步骤 1：计算矩阵A的特征多项式
矩阵A的特征多项式是通过计算$det(A-\lambda I)$得到的，其中I是单位矩阵，$\lambda$是特征值。对于给定的矩阵A，我们有：
$$
A-\lambda I = \left (\begin{matrix} 1-\lambda & -1 & 1\\ 2 & 4-\lambda & x\\ -3 & -3 & 5-\lambda\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 2：计算行列式
计算上述矩阵的行列式，得到特征多项式：
$$
det(A-\lambda I) = (1-\lambda)((4-\lambda)(5-\lambda) - (-3x)) - (-1)(2(5-\lambda) - (-3x)) + 1(2(-3) - (-3)(4-\lambda))
$$
步骤 3：根据已知特征值求解x
已知特征值${\lambda }_{1}=6$，${\lambda }_{2}={\lambda }_{3}=2$，代入特征多项式中，可以得到关于x的方程。由于A有三个线性无关的特征向量，说明特征值2是二重根，因此特征多项式在$\lambda=2$时的导数也应为0。通过求解这些方程，可以确定x的值。
步骤 4：求解x
将$\lambda=6$代入特征多项式，得到一个方程。将$\lambda=2$代入特征多项式和其导数，得到两个方程。解这三个方程，可以得到x的值。
矩阵A的特征多项式是通过计算$det(A-\lambda I)$得到的，其中I是单位矩阵，$\lambda$是特征值。对于给定的矩阵A，我们有：
$$
A-\lambda I = \left (\begin{matrix} 1-\lambda & -1 & 1\\ 2 & 4-\lambda & x\\ -3 & -3 & 5-\lambda\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 2：计算行列式
计算上述矩阵的行列式，得到特征多项式：
$$
det(A-\lambda I) = (1-\lambda)((4-\lambda)(5-\lambda) - (-3x)) - (-1)(2(5-\lambda) - (-3x)) + 1(2(-3) - (-3)(4-\lambda))
$$
步骤 3：根据已知特征值求解x
已知特征值${\lambda }_{1}=6$，${\lambda }_{2}={\lambda }_{3}=2$，代入特征多项式中，可以得到关于x的方程。由于A有三个线性无关的特征向量，说明特征值2是二重根，因此特征多项式在$\lambda=2$时的导数也应为0。通过求解这些方程，可以确定x的值。
步骤 4：求解x
将$\lambda=6$代入特征多项式，得到一个方程。将$\lambda=2$代入特征多项式和其导数，得到两个方程。解这三个方程，可以得到x的值。