题目

6、已知 P(A) = 1/4, P(B|A) = 1/3, P(A|B) = 1/2, 则 P(A∪B) = _.

6、已知 P(A) = 1/4, P(B|A) = 1/3, P(A|B) = 1/2, 则 P(A∪B) = _.

题目解答

答案

根据题意，已知 $ P(A) = \frac{1}{4} $，$ P(B|A) = \frac{1}{3} $，$ P(A|B) = \frac{1}{2} $。
首先，由条件概率公式 $ P(AB) = P(A)P(B|A) $，得
$P(AB) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}.$
其次，由 $ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} $，可解得
$P(B) = \frac{P(AB)}{P(A|B)} = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{6}.$
最后，利用概率加法公式 $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) $，代入已知值：
$P(A \cup B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} - \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}.$
答案： $\boxed{\frac{1}{3}}$

解析

考查要点：本题主要考查条件概率公式和概率加法公式的应用，需要学生理解事件的独立性与联合概率的关系，并能灵活转换条件概率表达式。

解题核心思路：

  1. 利用条件概率公式计算联合概率$P(AB)$；
  2. 通过条件概率公式反推事件$B$的概率$P(B)$；
  3. 应用概率加法公式计算并集概率$P(A \cup B)$。

破题关键点：

  • 明确条件概率的转换关系，如$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$和$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$；
  • 分步计算，先求$P(AB)$，再求$P(B)$，最后代入加法公式。

步骤1：计算联合概率$P(AB)$

根据条件概率公式：
$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} \implies P(AB) = P(A) \cdot P(B|A)$
代入已知数据：
$P(AB) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$

步骤2：计算$P(B)$

利用条件概率公式$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$，变形得：
$P(B) = \frac{P(AB)}{P(A|B)} = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{6}$

步骤3：计算$P(A \cup B)$

根据概率加法公式：
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$
代入已知值：
$P(A \cup B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} - \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$