题目

16.(单选题，4.0分) 设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为 X 0 1 2 3 P (1)/(2) (1)/(4) (1)/(8) (1)/(8) Y -1 0 1 P (1)/(3) (1)/(3) (1)/(3) 则P(X+Y=2)=[ ]

16.(单选题，4.0分) 设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为 X 0 1 2 3 P $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{8}$ $\frac{1}{8}$ Y -1 0 1 P $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ 则P{X+Y=2}=[ ]

题目解答

答案

满足 $X + Y = 2$ 的 $(X, Y)$ 对有： 1. $(1, 1)$：$P = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$ 2. $(2, 0)$：$P = \frac{1}{8} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{24}$ 3. $(3, -1)$：$P = \frac{1}{8} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{24}$ 总概率： \[ P\{X + Y = 2\} = \frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{24} = \frac{1}{6} \] 答案：$\boxed{C}$

解析

本题考察随机变量独立性的应用，核心是通过分析$X+Y=2$的所有可能取值组合，利用独立随机变量概率的乘法公式计算总概率。

步骤步骤1：确定$X+Y=2$的$(X,Y)$组合

随机变量$X$的可能取值为$0,1,2,3$，$Y$的可能取值为$-1,0,1$。要使$X+Y=2$，需满足：

  • 当$X=1$时，$Y=1$（$1+1=2$）；
  • 当$X=2$时，$Y=0$（$2==2+0=2$）；
  • 当$X=3$时，$Y=-1$（$3+(-1)=2$）。

步骤2：计算各组合的概率

因$X$和$Y$相互独立，$P(X=a,Y=b)=P(X=a)P(Y=b)$：

  1. $P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1)=\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{12}$；
  2. $P(X=2,Y=0)=P(X=2)P(Y=0)=\frac{1}{8}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{24}$；
  3. $P(X=3,Y=-1)=P(X=3)P(Y=-1)=\frac{1}{8}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{24}$。

步骤3：求和得总概率

$P\{X+Y=2\}=\frac{1}{12}+\frac{1}{24}+\frac{1}{24}=\frac{2}{24}+\frac{1}{24}+\frac{1}{24}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}$