5 中等题 求过点P(-5,1,8)且与直线L_(1):}x-y+3z+2=04x+y-2z+3=0都垂直的直线的方程.

为了求过点 $ P(-5,1,8) $ 且与直线 $ L_1 $ 和直线 $ L_2 $ 都垂直的直线的方程，我们需要先确定直线 $ L_1 $ 和直线 $ L_2 $ 的方向向量，然后找到与这两个方向向量都垂直的向量，这个向量就是所求直线的方向向量。最后，利用点 $ P $ 和方向向量写出直线的方程。 ### 步骤1：确定直线 $ L_1 $ 的方向向量 直线 $ L_1 $ 由两个平面的交线给出： \[ \begin{cases} x - y + 3z + 2 = 0 \\ 4x + y - 2z + 3 = 0 \end{cases} \] 这两个平面的法向量分别是 $ \mathbf{n}_1 = (1, -1, 3) $ 和 $ \mathbf{n}_2 = (4, 1, -2) $。直线 $ L_1 $ 的方向向量 $ \mathbf{d}_1 $ 是这两个法向量的叉积： \[ \mathbf{d}_1 = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 3 \\ 4 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-2) - (3)(1)) - \mathbf{j}((1)(-2) - (3)(4)) + \mathbf{k}((1)(1) - (-1)(4)) = \mathbf{i}(2 - 3) - \mathbf{j}(-2 - 12) + \mathbf{k}(1 + 4) = -\mathbf{i} + 14\mathbf{j} + 5\mathbf{k} = (-1, 14, 5) \] ### 步骤2：确定直线 $ L_2 $ 的方向向量 直线 $ L_2 $ 的参数方程为： \[ \begin{cases} x = 5 - 2t \\ y = 4 - t \\ z = 3t + 5 \end{cases} \] 直线 $ L_2 $ 的方向向量 $ \mathbf{d}_2 $ 是 $ (-2, -1, 3) $。 ### 步骤3：找到与 $ \mathbf{d}_1 $ 和 $ \mathbf{d}_2 $ 都垂直的向量 所求直线的方向向量 $ \mathbf{d} $ 是 $ \mathbf{d}_1 $ 和 $ \mathbf{d}_2 $ 的叉积： \[ \mathbf{d} = \mathbf{d}_1 \times \mathbf{d}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 14 & 5 \\ -2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((14)(3) - (5)(-1)) - \mathbf{j}((-1)(3) - (5)(-2)) + \mathbf{k}((-1)(-1) - (14)(-2)) = \mathbf{i}(42 + 5) - \mathbf{j}(-3 + 10) + \mathbf{k}(1 + 28) = 47\mathbf{i} - 7\mathbf{j} + 29\mathbf{k} = (47, -7, 29) \] ### 步骤4：写出直线的方程 过点 $ P(-5, 1, 8) $ 且方向向量为 $ (47, -7, 29) $ 的直线的参数方程为： \[ \begin{cases} x = -5 + 47t \\ y = 1 - 7t \\ z = 8 + 29t \end{cases} \] 或者，可以写成对称形式： \[ \frac{x + 5}{47} = \frac{y - 1}{-7} = \frac{z - 8}{29} \] Thus, the answer is: \[ \boxed{\frac{x+5}{47} = \frac{y-1}{-7} = \frac{z-8}{29}} \]