证明:若f(x)在有限开区间(a,b )内可导,且 lim _(xarrow {a)^+}f(x)=lim _(xarrow {b)^-}f(x), 则-|||-至少存在一点 xi in (a,b), 使 '(xi )=0.

考查要点：本题主要考查罗尔定理的应用，以及如何通过构造辅助函数将问题转化为满足罗尔定理条件的形式。

解题核心思路：题目中给出的条件是函数$f(x)$在开区间$(a,b)$内可导，且左右极限在$a$和$b$处相等。由于罗尔定理要求函数在闭区间上连续、端点处函数值相等，因此需要构造一个辅助函数$F(x)$，使其满足罗尔定理的条件，进而应用定理得到结论。

破题关键点：

1. 构造辅助函数：通过定义$F(x) = f(x) - C$（其中$C$为$f(x)$在$a$和$b$处的极限值），使得$F(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$F(a) = F(b) = 0$。
2. 验证条件：确认$F(x)$在$(a,b)$内可导，并应用罗尔定理。

步骤1：定义辅助函数

设$C = \lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to b^-} f(x)$，构造函数：
$F(x) = \begin{cases} f(x) - C, & x \in (a, b), \\0, & x = a \text{ 或 } x = b.\end{cases}$

步骤2：验证连续性

• 在$(a,b)$内：$F(x)$由连续函数$f(x)$与常数$C$相减得到，故连续。
• 在$x = a$处：当$x \to a^+$时，$F(x) = f(x) - C \to 0$，与$F(a) = 0$一致，故连续。
• 在$x = b$处：同理，当$x \to b^-$时，$F(x) \to 0$，与$F(b) = 0$一致，故连续。

步骤3：验证可导性

在$(a,b)$内，$F(x) = f(x) - C$可导，导数为：
$F'(x) = f'(x).$

步骤4：应用罗尔定理

由于$F(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，且$F(a) = F(b) = 0$，根据罗尔定理，存在$\xi \in (a,b)$，使得：
$F'(\xi) = 0 \implies f'(\xi) = 0.$