题目

简答题（共2题，30.0分）13.（15.0分）总结直角坐标与极坐标下计算二重积分的计算步骤。

简答题（共2题，30.0分） 13.（15.0分） 总结直角坐标与极坐标下计算二重积分的计算步骤。

题目解答

答案

为了总结直角坐标与极坐标下计算二重积分的计算步骤，我们将分别讨论每种情况。

直角坐标下计算二重积分

  1. 确定积分区域 $D$:

    • 识别区域 $D$ 在 $xy$-平面上的边界。
    • 确定 $x$ 和 $y$ 的范围。

  2. 将二重积分表示为迭代积分:

    • 如果区域 $D$ 是 $y$-简单（即，对于每个 $x$，$y$ 的范围在两条曲线之间），则积分可以写为：
      $\iint_D f(x, y) \, dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y) \, dy \, dx$
    • 如果区域 $D$ 是 $x$-简单（即，对于每个 $y$，$x$ 的范围在两条曲线之间），则积分可以写为：
      $\iint_D f(x, y) \, dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x, y) \, dx \, dy$

  3. 计算内积分:

    • 将外变量视为常数，对内变量进行积分。

  4. 计算外积分:

    • 对外变量进行积分，得到最终答案。

极坐标下计算二重积分

  1. 确定积分区域 $D$:

    • 识别区域 $D$ 在极坐标系中的边界。
    • 确定 $r$ 和 $\theta$ 的范围。

  2. 将二重积分表示为迭代积分:

    • 如果区域 $D$ 是由半径 $r = g_1(\theta)$ 和 $r = g_2(\theta)$ 之间的区域，以及角度 $\theta = \alpha$ 和 $\theta = \beta$ 所限定，其中 $0 \leq \beta - \alpha \leq 2\pi$，则积分可以写为：
      $\iint_D f(x, y) \, dA = \int_\alpha^\beta \int_{g_1(\theta)}^{g_2(\theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \, r \, dr \, d\theta$

  3. 计算内积分:

    • 将外变量 $\theta$ 视为常数，对内变量 $r$ 进行积分。

  4. 计算外积分:

    • 对外变量 $\theta$ 进行积分，得到最终答案。

最终答案

直角坐标下计算二重积分的步骤是：

  1. 确定积分区域 $D$。
  2. 将二重积分表示为迭代积分。
  3. 计算内积分。
  4. 计算外积分。

极坐标下计算二重积分的步骤是：

  1. 确定积分区域 $D$。
  2. 将二重积分表示为迭代积分。
  3. 计算内积分。
  4. 计算外积分。

$\boxed{\begin{array}{l}\text{直角坐标：} \\1. \text{确定积分区域 } D. \\2. \text{将二重积分表示为迭代积分。} \\3. \text{计算内积分。} \\4. \text{计算外积分。} \\\\\text{极坐标：} \\1. \text{确定积分区域 } D. \\2. \text{将二重积分表示为迭代积分。} \\3. \text{计算内积分。} \\4. \text{计算外积分。}\end{array}}$

解析

考查要点：本题要求总结直角坐标与极坐标下计算二重积分的步骤，核心在于理解两种坐标系下积分区域的描述方式及变量替换方法。
解题思路：

  1. 直角坐标：需明确积分区域的边界，将其分解为$x$或$y$的简单区域，转化为累次积分。
  2. 极坐标：需将区域转换为极坐标形式，利用$r$和$\theta$的范围描述区域，并注意雅可比行列式$r$的引入。
    关键点：
  • 坐标系选择：直角坐标适用于矩形或垂直边界，极坐标适用于圆形、扇形或径向对称区域。
  • 变量替换：极坐标下$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，面积元素$dA = r \, dr \, d\theta$。

直角坐标下计算二重积分

  1. 确定积分区域：
    • 分析$D$在$xy$-平面上的边界，判断是$x$-简单区域（对每个$x$，$y$有明确上下限）还是$y$-简单区域（对每个$y$，$x$有明确左右限）。
  2. 转化为累次积分：
    • 若为$x$-简单区域，积分顺序为$\int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) \, dy \, dx$；
    • 若为$y$-简单区域，积分顺序为$\int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y) \, dx \, dy$。
  3. 计算内积分：
    • 将外变量视为常数，对内变量积分（如先对$y$积分，再对$x$积分）。
  4. 计算外积分：
    • 对外变量积分，得到最终结果。

极坐标下计算二重积分

  1. 确定积分区域：
    • 将区域$D$转换为极坐标形式，确定$r$和$\theta$的范围（如$r$从$g_1(\theta)$到$g_2(\theta)$，$\theta$从$\alpha$到$\beta$）。
  2. 转化为累次积分：
    • 积分表达式为$\int_\alpha^\beta \int_{g_1(\theta)}^{g_2(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r \, dr \, d\theta$，注意添加$r$因子。
  3. 计算内积分：
    • 将$\theta$视为常数，对$r$积分。
  4. 计算外积分：
    • 对$\theta$积分，得到最终结果。