题目

2.某LTI系统的微分方程为：y''(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+6f(t)，已知f(t)=varepsilon(t)，y(0_(} )=2，y'(0_{) )=1。求分别求出系统的零输入响应、零状态响应和全响应y_(zi)(t)、y_(zs)(t)和y(t)。(15分)

2.某LTI系统的微分方程为：$y''(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+6f(t)$，已知$f(t)=\varepsilon(t)$，$y(0_{} )=2$，$y'(0_{} )=1$。求分别求出系统的零输入响应、零状态响应和全响应$y_{zi}(t)$、$y_{zs}(t)$和$y(t)$。(15分)

题目解答

答案

1. **零输入响应** 特征方程：$\lambda^2 + 5\lambda + 6 = 0$，解得$\lambda = -2, -3$。通解：$y_{zi}(t) = C_1e^{-2t} + C_2e^{-3t}$。由初始条件$y(0_+) = 2$，$y'(0_+) = 1$，解得$C_1 = 7$，$C_2 = -5$。 **答案**：$y_{zi}(t) = (7e^{-2t} - 5e^{-3t})\varepsilon(t)$。 2. **零状态响应** 拉普拉斯变换：$Y(s) = \frac{2s + 6}{s(s + 2)(s + 3)}$。部分分式：$Y(s) = \frac{1}{s} - \frac{1}{s + 2}$。 **答案**：$y_{zs}(t) = (1 - e^{-2t})\varepsilon(t)$。 3. **全响应** $y(t) = y_{zi}(t) + y_{zs}(t)$。 **答案**：$y(t) = [1 + 6e^{-2t} - 5e^{-3t}]\varepsilon(t)$。 4. **系统函数** $H(s) = \frac{2}{s + 2}$，极点在左半平面，系统稳定。 \[ \boxed{ \begin{aligned} &y_{zi}(t) = (7e^{-2t} - 5e^{-3t})\varepsilon(t), \\ &y_{zs}(t) = (1 - e^{-2t})\varepsilon(t), \\ &y(t) = [1 + 6e^{-2t} - 5e^{-3t}]\varepsilon(t), \\ &H(s) = \frac{2}{s + 2}, \\ &\text{系统稳定}. \end{aligned} } \]

解析

本题主要考查LTI（线性时不变）系统的零输入响应、零状态响应和全响应的求解，以及系统函数和稳定性的判断。解题思路如下：

零输入响应：
- 首先根据系统的微分方程写出特征方程，求解特征根。
- 然后根据特征根写出零输入响应的通解形式。
- 最后利用给定的初始条件确定通解中的待定系数。
零状态响应：
- 对系统的微分方程两边进行拉普拉斯变换，结合零状态条件（初始条件为0）得到系统函数$H(s)$。
- 对输入信号$f(t)$进行拉普拉斯变换得到$F(s)$。
- 计算零状态响应的拉普拉斯变换$Y_{zs}(s)=H(s)F(s)$。
- 对$Y_{zs}(s)$进行部分分式展开，再进行拉普拉斯反变换得到零状态响应$y_{zs}(t)$。
全响应：
- 全响应等于零输入响应与零状态响应之和，即$y(t)=y_{zi}(t)+y_{zs}(t)$。
系统函数和稳定性判断：
- 系统函数$H(s)$可由零状态响应的拉普拉斯变换与输入信号的拉普拉斯变换之比得到。
- 根据系统函数的极点位置判断系统的稳定性，若所有极点都在左半平面，则系统稳定。

零输入响应求解

已知系统的微分方程为$y''(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+6f(t)$，其特征方程为$\lambda^2 + 5\lambda + 6 = 0$。
因式分解可得$(\lambda + 2)(\lambda + 3) = 0$，解得特征根$\lambda_1 = -2$，$\lambda_2 = -3$。
所以零输入响应的通解为$y_{zi}(t) = C_1e^{-2t} + C_2e^{-3t}$。
对$y_{zi}(t)$求导得$y_{zi}'(t) = -2C_1e^{-2t} - 3C_2e^{-3t}$。
已知$y(0_+) = 2$，$y'(0_+) = 1$，将$t = 0$代入$y_{zi}(t)$和$y_{zi}'(t)$可得：
$\begin{cases}y_{zi}(0_+) = C_1 + C_2 = 2\\y_{zi}'(0_+) = -2C_1 - 3C_2 = 1\end{cases}$
由第一个方程可得$C_1 = 2 - C_2$，将其代入第二个方程可得：
$-2(2 - C_2) - 3C_2 = 1$
$-4 + 2C_2 - 3C_2 = 1$
$-C_2 = 5$
解得$C_2 = -5$，则$C_1 = 2 - (-5) = 7$。
所以零输入响应为$y_{zi}(t) = (7e^{-2t} - 5e^{-3t})\varepsilon(t)$。

零状态响应求解

对系统的微分方程两边进行拉普拉斯变换，根据拉普拉斯变换的性质：
$L[y''(t)] = s^2Y(s) - sy(0_-) - y'(0_-)$，$L[y'(t)] = sY(s) - y(0_-)$，$L[f'(t)] = sF(s) - f(0_-)$。
因为是零状态响应，所以$y(0_-) = 0$，$y'(0_-) = 0$，$f(0_-) = 0$，则有：
$s^2Y_{zs}(s) + 5sY_{zs}(s) + 6Y_{zs}(s) = 2sF(s) + 6F(s)$
系统函数$H(s)=\frac{Y_{zs}(s)}{F(s)}=\frac{2s + 6}{s^2 + 5s + 6}=\frac{2s + 6}{(s + 2)(s + 3)}$。
已知$f(t)=\varepsilon(t)$，其拉普拉斯变换$F(s)=\frac{1}{s}$。
则零状态响应的拉普拉斯变换为：
$Y_{zs}(s)=H(s)F(s)=\frac{2s + 6}{s(s + 2)(s + 3)}$
对$Y_{zs}(s)$进行部分分式展开：
设$\frac{2s + 6}{s(s + 2)(s + 3)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s + 2}+\frac{C}{s + 3}$
通分可得$2s + 6 = A(s + 2)(s + 3) + Bs(s + 3) + Cs(s + 2)$。
令$s = 0$，可得$6 = A(2)(3)$，解得$A = 1$。
令$s = -2$，可得$2\times(-2) + 6 = B\times(-2)\times(-2 + 3)$，即$2 = -2B$，解得$B = -1$。
令$s = -3$，可得$2\times(-3) + 6 = C\times(-3)\times(-3 + 2)$，即$0 = 3C$，解得$C = 0$。
所以$Y_{zs}(s)=\frac{1}{s} - \frac{1}{s + 2}$。
对$Y_{zs}(s)$进行拉普拉斯反变换可得零状态响应：
$y_{zs}(t) = (1 - e^{-2t})\varepsilon(t)$

全响应求解

全响应$y(t)=y_{zi}(t)+y_{zs}(t)=(7e^{-2t} - 5e^{-3t})\varepsilon(t)+(1 - e^{-2t})\varepsilon(t)=[1 + 6e^{-2t} - 5e^{-3t}]\varepsilon(t)$。

系统函数和稳定性判断

系统函数$H(s)=\frac{2s + 6}{s^2 + 5s + 6}=\frac{2(s + 3)}{(s + 2)(s + 3)}=\frac{2}{s + 2}$（$s\neq -3$）。
系统函数的极点为$s = -2$，在左半平面，所以系统稳定。