1. 请写出泊松方程和拉普拉斯方程。2. 请分别画出均匀场、点电荷、电偶极子对应的电场线（用带箭头的实线表示）和等势面（用虚线表示）的示意图。3. 导体的静电条件有哪些？4. 试写出拉普拉斯方程在球坐标中的通解，若实际问题中具有对称轴，并取此轴为极轴，通解可以简化成什么形式？5. 接地无限大平面导体板附近有一点电荷 Q，求空间电势。

1. 泊松方程：$\nabla^2 \varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon}$（或 $\nabla^2 \varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$ 在真空中）。 拉普拉斯方程：$\nabla^2 \varphi = 0$。 2. 各种电场的电场线与等势面： - 均匀场：电场线为平行直线，等势面为垂直平面。 - 点电荷：电场线为径向直线，等势面为同心球面（或圆）。 - 电偶极子：电场线从正电荷指向负电荷，呈弯曲状；等势面为围绕偶极子的闭合曲面，中间有 $\varphi = 0$ 平面。 3. 导体静电条件： 1. 内部电场 $\mathbf{E}_{\text{内}} = 0$。 2. 导体为等势体，$\varphi_{\text{内}} = \text{常数}$。 3. 表面电场 $\mathbf{E}_{\text{表面}} \perp \text{表面}$。 4. 表面电荷面密度 $\sigma = \varepsilon_0 E_n$。 5. 表面为等势面。 4. 球坐标下拉普拉斯方程通解： \[ \varphi(r, \theta, \phi) = \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l} \left( A_{lm} r^l + B_{lm} r^{-(l+1)} \right) P_l^m (\cos\theta) e^{im\phi} \] 轴对称时（$\varphi$ 不含 $\phi$）： \[ \varphi(r, \theta) = \sum_{l=0}^{\infty} \left( A_l r^l + B_l r^{-(l+1)} \right) P_l (\cos\theta) \] 5. 接地无限大平面导体板附近点电荷 $Q$ 的电势： \[ \varphi(\rho, z) = \begin{cases} \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q}{\sqrt{\rho^2 + (z - d)^2}} - \frac{Q}{\sqrt{\rho^2 + (z + d)^2}} \right) & (z > 0) \\ 0 & (z < 0) \end{cases} \] （其中 $\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$）。