题目

试说出下列各微分方程的阶数:(1) x(y')^2 - 2yy' + x = 0;(2) x^2y' - xy' + y = 0;(3) xy''' + 2y' + x^2y = 0;(4) (7x-6y)dx + (x+y)dy = 0;(5) L(d^2Q)/(dt^2) + R(dQ)/(dt) + (Q)/(C) = 0;(6) (drho)/(dtheta) + rho = sin^2theta.

试说出下列各微分方程的阶数: (1) $x(y')^2 - 2yy' + x = 0$; (2) $x^2y' - xy' + y = 0$; (3) $xy''' + 2y' + x^2y = 0$; (4) $(7x-6y)dx + (x+y)dy = 0$; (5) $L\frac{d^2Q}{dt^2} + R\frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{C} = 0$; (6) $\frac{d\rho}{d\theta} + \rho = \sin^2\theta$.

题目解答

答案

【解析】 解(1) 一阶. (2) 一阶. (3) 三阶. (4) 一阶. (5) 二阶 (6) 一阶.

解析

微分方程的阶数由方程中未知函数的最高阶导数决定。判断时需注意：

  1. 导数的阶数：如$y'$是一阶，$y''$是二阶，依此类推；
  2. 微分形式：如$dx$、$dy$对应一阶导数；
  3. 忽略导数的乘积或幂次：例如$(y')^2$仍视为一阶导数。

(1) $x(y')^2 - 2yy' + x = 0$

  • 最高阶导数：$y'$（一阶）。
  • 结论：一阶。

(2) $x^2y' - xy' + y = 0$

  • 最高阶导数：$y'$（一阶）。
  • 结论：一阶。

(3) $xy''' + 2y' + x^2y = 0$

  • 最高阶导数：$y'''$（三阶）。
  • 结论：三阶。

(4) $(7x-6y)dx + (x+y)dy = 0$

  • 微分形式：$dy$对应$\frac{dy}{dx}$（一阶导数）。
  • 结论：一阶。

(5) $L\frac{d^2Q}{dt^2} + R\frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{C} = 0$

  • 最高阶导数：$\frac{d^2Q}{dt^2}$（二阶）。
  • 结论：二阶。

(6) $\frac{d\rho}{d\theta} + \rho = \sin^2\theta$

  • 最高阶导数：$\frac{d\rho}{d\theta}$（一阶）。
  • 结论：一阶。