题目

微分方程 y'' + 4y' + 8y = 0 的通解 y 为(）.A. mathrm(e)^2x [C_1 cos(2x)+ C_2 sin(2x)]B. mathrm(e)^-2x [C_1 cos(2x)+ C_2 sin(2x)]C. mathrm(e)^2x [C_1 cos(3x)+ C_2 sin(3x)]D. mathrm(e)^-2x [C_1 cos(3x)+ C_2 sin(3x)]

微分方程 $y'' + 4y' + 8y = 0$ 的通解 $y$ 为(）.

A. $\mathrm{e}^{2x} [C_1 \cos(2x)+ C_2 \sin(2x)]$

B. $\mathrm{e}^{-2x} [C_1 \cos(2x)+ C_2 \sin(2x)]$

C. $\mathrm{e}^{2x} [C_1 \cos(3x)+ C_2 \sin(3x)]$

D. $\mathrm{e}^{-2x} [C_1 \cos(3x)+ C_2 \sin(3x)]$

题目解答

B. $\mathrm{e}^{-2x} [C_1 \cos(2x)+ C_2 \sin(2x)]$

本题考查二阶常系数齐次线性微分方程的通解求解。解题思路是先写出给定微分方程的特征方程，然后求解特征方程的根，最后根据特征根的情况写出通解。

步骤一：写出特征方程

对于二阶常系数齐次线性微分方程$y'' + py' + qy = 0$（其中$p$、$q$为常数），其特征方程为$r^2 + pr + q = 0$。
在微分方程$y'' + 4y' + 8y = 0$中，$p = 4$，$q = 8$，则特征方程为$r^2 + 4r + 8 = 0$。