题目
6.设L为曲线 ^2=x 上从点(0,0)到点(1,1)的一段,则曲线积分 (int )_((0,0))^(1,1)xydx+-|||-(y-x)dy= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：参数化曲线
曲线 ${y}^{2}=x$ 可以用参数方程表示为 $x=t^2$ 和 $y=t$，其中 $t$ 从 0 变化到 1。
步骤 2：计算微分
根据参数方程，我们有 $dx=2tdt$ 和 $dy=dt$。
步骤 3：代入并计算积分
将参数方程和微分代入曲线积分 ${\int }_{(0,0)}^{(1)}(x)dx+(y-x)dy$，得到
${\int }_{0}^{1}(t^2)(2t)dt+((t-t^2))dt$。
步骤 4：计算积分
计算积分 ${\int }_{0}^{1}(2t^3+t-t^2)dt$，得到
$[\dfrac{2t^4}{4}+\dfrac{t^2}{2}-\dfrac{t^3}{3}]_{0}^{1} = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3} = \dfrac{17}{30}$。
曲线 ${y}^{2}=x$ 可以用参数方程表示为 $x=t^2$ 和 $y=t$，其中 $t$ 从 0 变化到 1。
步骤 2：计算微分
根据参数方程，我们有 $dx=2tdt$ 和 $dy=dt$。
步骤 3：代入并计算积分
将参数方程和微分代入曲线积分 ${\int }_{(0,0)}^{(1)}(x)dx+(y-x)dy$，得到
${\int }_{0}^{1}(t^2)(2t)dt+((t-t^2))dt$。
步骤 4：计算积分
计算积分 ${\int }_{0}^{1}(2t^3+t-t^2)dt$，得到
$[\dfrac{2t^4}{4}+\dfrac{t^2}{2}-\dfrac{t^3}{3}]_{0}^{1} = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3} = \dfrac{17}{30}$。