求下列各微分方程满足已给初值条件的特解(1) y''+y+sin2x=0 , y|_(x=π)=1 , y'|_(x=π)=1 ;(2） y''-3y'+2y=5 , y|_(x=0)=1 , y'|_(x=0)=2 ;(3) y''-10y'+9y=e^(2x) y|_(x=0)=6/7 y'|_(x=0)=(33)/7(4) y''-y=4xe^x , y|_(x=0)=0 , y'|_(x=0)=1 ;(5) y''-4y'=5 , y|_(x=0)=1 , y'|_(x=0)=0

解（1)由 r^2+1=0 解得 r_(1,2)=±i ,故对应的齐次方程的通解为Y=C_1cosx+C_2sinx 因 f(x)=-sin2x=e^(0x)(0⋅cos2x-sin2x) , λ+iω=2i 不是特征方程的根,故可设y^*=Acos2x+Bsin2x 是原方程的一个特解,代入方程得-3Acos2x-3Bsin2x=-sin2x .比较系数得A=0, B=1/3 即y''=1/3sin2x 故原方程的通解为y = C1csx+ C2nx+sin2.且有y'=-C_1sinx+C_2cosx+2/3cos2x 代入初值条件x=π,y=1, y'=1 ,有-C_1=1,;-c_2+2/3=1. 解得 C_1=-1 C_2=-1/3故所求特解为y=-cosx-1/3sinx+1/3sin2x(2) HIr^2-3r+2=0 解得 r_1=1 , r_2=2 ,故对应的齐次方程的通解为Y=C_1e^x+C_2e^(2x) 因f(x)=5, λ=0 不是特征方程的根,故可设y*=A是原方程的一个特解,代入方程得 A=5/2 ,即 y^*=5/2于是原方程的通解为y=C_1e^x+C_2e^(2x)+5/2 且有 y'=C_1e^x+2C_2e^(2x) .代人初值条件x=0,y=1, y'=2 ,有C_1+C_2+5/2=1;C_1+2C_2=2. C1+2C2=2,解得 C_1=-5 C_2=7/2故所求特解为y=-5e^x+7/2e^(2x)+5/2. (3)由 r^2-10r+9=0 解得 r_1=1 , r_2=9 ,故对应的齐次方程的通解为Y=C_1e^x+C_2e^(9x) 因 f(x)=e^(2x) , λ=2 不是特征方程的根,故可设 y^n=Ae^(2x) 是原方程的一个特解,代入方程并消去e2,得 A=-1/7 即 y^*=-1/7e^(2x)于是原方程的通解为y=C_1e^x+C_2e^(9x)-1/7e^(2x) 且有y'=C_1e^x C_1e^x+9C_2e^(9x)-2/7e^2代人初值条件 y=6/7 y'=(33)/7 _33有c_1+c_2=1/7=6/7;c_1+9c_2=2/7=3/7. 解得 C_1=1/2 C_2=1/2故所求特解为y=1/2e^x+1/2e^(9x)-1/7e^(2x)(4)由r2-1=0得特征根r12=±1,故对应的齐次方程的通解为y=C_1e^x+C_2e^(-x) .因 f(x)=4xe^x , λ=1 是特征方程的单根,故可设 y^n=xe^x(Ax+B)=e^x(Ax^2+Bx)原方程的一个特解,代人方程并消去e,得4Ax +2A +2B =4x.比较系数得A=1,B=-1,即y^*=e^x(x^2-x) 于是原方程的通解为y=C_1e^x+C_2e^(-x)+e^x(x^2-x) ,即y=e^x(x^2-x+C_1)+C_2e^(-x) ,且有y'=e^x(x^2+x-1+C_1)-C_2e^(-x) 代入初值条件x=0,y=0, y'=1 ,有C_1+C_2=0.;C_1=C_2-1=1. 解得 C_1=1 , C_2=-1 ,故所求特解为y=e^x(x^2-x+1)-e^(-x) .(5)由 r^2-4r=0 ,解得 r_1=0 , r_2=4 ,故对应的齐次方程的通解为Y=C_1+C_2e^(4x) 因 f(x)=5=5⋅e^(0x) λ=0 是特征方程的单根,故可设y*=Ax是原方程的一个特解,代入方程得 A=-5/4 即y^*=-5/4x .于是原方程的通解为y=C_1+C_2e^(4x)-5/4x 且有y'=4C_2e^(4x)-5/4 代入初值条件x=0,y=1, y'=0 ,有C_1+C_2=1;4C_2-5/4=0. 解得 C_1=(11)/(16) C_2=5/(16)故所求特解为y=(11)/(16)+5/(16)e^(4x)=5/4x