(int )_(-1)^1dfrac (1+sin x)(1+{x)^2}dx .

考查要点：本题主要考查定积分的奇偶性性质及其应用，需要学生掌握如何将被积函数拆分为奇函数和偶函数的组合，并利用对称区间上的积分特性简化计算。

解题核心思路：

1. 拆分被积函数：将分子拆分为常数项和奇函数项，分别对应偶函数和奇函数。
2. 判断奇偶性：确定拆分后的两部分的奇偶性，利用偶函数在对称区间上的积分性质（积分值为非对称区间积分的两倍）和奇函数在对称区间上的积分性质（积分值为0）。
3. 简化计算：仅需计算偶函数部分的积分，奇函数部分直接抵消。

将被积函数拆分为两部分：
$\frac{1+\sin x}{1+x^2} = \frac{1}{1+x^2} + \frac{\sin x}{1+x^2}$

步骤1：判断奇偶性

• $\frac{1}{1+x^2}$ 是偶函数：
  分母 $1+x^2$ 是偶函数，分子 $1$ 是偶函数，偶函数除以偶函数仍为偶函数。
• $\frac{\sin x}{1+x^2}$ 是奇函数：
  分子 $\sin x$ 是奇函数，分母 $1+x^2$ 是偶函数，奇函数除以偶函数为奇函数。

步骤2：应用积分性质

• 偶函数部分：
  $\int_{-1}^{1} \frac{1}{1+x^2} dx = 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^2} dx$
  积分结果为 $2 \left[ \arctan x \right]_0^1 = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$。
• 奇函数部分：
  $\int_{-1}^{1} \frac{\sin x}{1+x^2} dx = 0$

步骤3：合并结果
原积分值为两部分之和：
$\frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$