3.已知两个线性变换-|||- ) (x)_(1)=2(y)_(1)+(y)_(3), (x)_(2)=-2(y)_(1)+3(y)_(2)+2(y)_(3) (x)_(3)=4(y)_(1)+(y)_(2)+5(y)_(3), .-|||-求从z1,z 2,z3到x 1,x2,x3的线性变换.

本题考察线性变换的矩阵表示及矩阵乘法的应用。线性变换可以通过矩阵乘法来表示，若从$y$到$x$的的线性变换为$X=AY$，从$z$到$y\\)的线性变换为\(Y=BZ$，则从$z\mathbf{z}$到$x$的线性变换为$X=(AB)Z=CZ$，其中$C=AB$为复合变换的系数矩阵。

步骤1：写出线性变换的矩阵形式

• 从$y$)到$x$的线性变换：
  观察$\begin{cases}x_1=2y_1+0y_3\\x_2=-2y_1+3y_2+2y_3\\x_3=4y_1+y_1+y_2+5y_3\end{cases}$，$y_2$的系数为0，故系数矩阵$记为\(A$)为：
  $A=\begin{pmatrix}2&0&1\\-2&3&2\\4&1&5\end{pmatrix}$

• 从$z$到$y$的线性变换：
  观察$\begin{cases}y_1=-3z_1+z_2\\y_2=2z_1+z_3\\y_3=-z_2+3z_3\end{cases}$，$y_1$中$z_3$的系数为0，$y_2$中$z_2$的系数为0，故系数矩阵(记为$B$)为：
  $B=\begin{pmatrix}-3&1&0\\2&0&1\\0&-1&3\end{pmatrix}$

步骤2：计算复合矩阵$C=AB$

根据矩阵乘法规则，$C=(c_{ij})$的元素$c_{ij}$是$A$的第$i$行与$B$的第$j$列对应元素乘积之和：

• 第一行$A_1\cdot B$：
  $\begin{align*}c_{11}&=2\times(-3)+0\times2+1\times0=-6\\c_{12}&=2\times1+0\times0+1\times(-1)=1\\c_{13}&=2\times0+0\times1+1\times3=3\end{align*}$

第二行$A_2\cdot B$：
$\begin{align*}c_{21}&=-2\times(-3)+3\times2+2\times0=12\\c_{22}&=-2\times1+3\times0+2\times(-1)=-4\\c_{23}&=-2\times0+3\times1+2\times3=9\end{align*}$

第三行$\(A_3\cdot B$)：
$\begin{align*}c_{31}&=4\times(-3)+1\times2+5\times0=-10\\c_{32}&=4\times1+1\times0+5\times(-1)=-1\\c_{33}&=4\times0+1\times1+5\times3=16\end{align*}$

故$\(C=AB=\begin{pmatrix}-6&1&3\\12&-4&9\\-10&-1&16\end{pmatrix}$

步骤3：写出从$z$到$x$的线性变换

根据$X=CZ$，得：
$\begin{cases}x_1=-6z_1+z_2+3z_3\\x_2=12z_1-4z_2+9z_3\\x_3=-10z_1-z_2+16z_3\end{cases}$