20.求曲线vec(r)=vec(f)(t)=(t-sin t)vec(i)+(1-cos t)vec(j)+(4sin(t)/(2))vec(k)在与t_(0)=(pi)/(2)相应的点处的切线及法平面方程。

1. **求点的坐标**： 当 $t = \frac{\pi}{2}$ 时， $x = \frac{\pi}{2} - \sin\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 1$， $y = 1 - \cos\frac{\pi}{2} = 1$， $z = 4\sin\frac{\pi}{4} = 2\sqrt{2}$。 点为 $\left(\frac{\pi}{2} - 1, 1, 2\sqrt{2}\right)$。 2. **求切向量**： $\vec{T} = \left(1 - \cos t, \sin t, 2\cos\frac{t}{2}\right)$， 当 $t = \frac{\pi}{2}$ 时， $\vec{T} = (1, 1, \sqrt{2})$。 3. **切线方程**： $\frac{x - \left(\frac{\pi}{2} - 1\right)}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$。 4. **法平面方程**： $1 \cdot (x - \frac{\pi}{2} + 1) + 1 \cdot (y - 1) + \sqrt{2} \cdot (z - 2\sqrt{2}) = 0$， 化简得 $x + y + \sqrt{2}z = \frac{\pi}{2} + 4$。 **答案**： 切线方程：$\boxed{\frac{x - \left(\frac{\pi}{2} - 1\right)}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}$ 法平面方程：$\boxed{x + y + \sqrt{2}z = \frac{\pi}{2} + 4}$