12.无限长圆柱形均匀磁场中,B以恒定速率 dfrac (dB)(dt) 变化着.如 × ×-|||-图 .5 所示,三条路径中(ab为圆的直径)的感应电动势分别是 × ×-|||-() × ×-|||-a b-|||-A. neq 0 , ._(dd)neq 0 , .(varepsilon )_(ef)=0 c d-|||-B. _(ab)neq 0 , neq 0 , .(varepsilon )_(ef)neq 0 e __ ()-|||-C. _(ab)=0, (d)^2=0 , .(varepsilon )_(ef)neq 0-|||-图 11-5-|||-D. _(ab)=0 , .εcd≠0 , (varepsilon )_(ef)=0

本题考查知识点为法拉第电磁感应定律以及感应电动势的计算，解题思路是根据法拉第电磁感应定律$\varepsilon =-\frac{d\varPhi}{dt}$，分别分析三条路径所围面积的磁通量变化情况，进而判断感应电动势是否为零。

1. 分析$\varepsilon_{ab}$

• 感应电动势$\varepsilon_{ab}$是沿直径$ab$的感应电动势。
• 对于直径$ab$，它所围的面积为零，即$S = 0$。
• 根据磁通量公式$\varPhi=BS$（$B$为磁感应强度，$S$为面积），可得$\varPhi = B\times0 = 0$。
• 再根据法拉第电磁感应定律$\varepsilon =-\frac{d\varPhi}{dt}$，因为$\varPhi = 0$，所以$\frac{d\varPhi}{dt}=0$，则$\varepsilon_{ab}=0$。

2. 分析$\varepsilon_{cd}$

• 感应电动势$\varepsilon_{cd}$是沿曲线$cd$的感应电动势。
• 曲线$cd$所围的面积关于圆心对称，且磁场是均匀的。
• 设曲线$cd$所围面积为$S_{cd}$，磁通量$\varPhi_{cd}=BS_{cd}$。
• 由于磁场均匀，在曲线$cd$所围面积内，磁通量的变化只与面积和磁感应强度的变化率有关。但因为面积关于圆心对称，从圆心两侧穿过的磁通量大小相等、方向相反，所以总的磁通量$\varPhi_{cd}=0$。
• 根据法拉第电磁感应定律$\varepsilon =-\frac{d\varPhi}{dt}$，因为$\varPhi_{cd} = 0$，所以$\frac{d\varPhi_{cd}}{dt}=0$，则$\varepsilon_{cd}=0$。

3. 分析$\varepsilon_{ef}$

• 感应电动势$\varepsilon_{ef}$是沿曲线$ef$的感应电动势。
• 曲线$ef$所围的面积不为零，设为$S_{ef}$，磁通量$\varPhi_{ef}=BS_{ef}$。
• 已知$B$以恒定速率$\frac{dB}{dt}$变化，对磁通量$\varPhi_{ef}$求导，根据求导公式$(uv)^\prime = u^\prime v+uv^\prime$（这里$u = B$，$v = S_{ef}$，$S_{ef}$为常数），可得$\frac{d\varPhi_{ef}}{dt}=S_{ef}\frac{dB}{dt}$。
• 因为$S_{ef}\neq0$，$\frac{dB}{dt}\neq0$，所以$\frac{d\varPhi_{ef}}{dt}\neq0$。
• 根据法拉第电磁感应定律$\varepsilon =-\frac{d\varPhi}{dt}$，可得$\varepsilon_{ef}\neq0$。