2.设随机变量X~U(1，5)（均匀分布），则E(X)=（）A. 2B. 3C. 4D. 5

本题考查均匀分布的期望计算。解题思路是利用均匀分布期望的公式或者期望的定义来计算随机变量$X$的期望。

• 方法一：利用均匀分布期望公式
  对于均匀分布$X\sim U(a,b)$，其期望公式为$E(X)=\frac{a + b}{2}$。
  已知随机变量$X\sim U(1,5)$，即$a = 1$，$b = 5$，将其代入公式可得：
  $E(X)=\frac{1 + 5}{2}$
  $=\frac{6}{2}$
  $= 3$
• 方法二：利用期望的定义计算
  若随机变量$X$的概率密度函数为$f(x)$，则期望$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}x\cdot f(x)dx$。
  对于均匀分布$X\sim U(1,5)$，其概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{5 - 1}=\frac{1}{4},&1\leq x\leq 5\\0,&\text{其他}\end{cases}$。
  那么$E(X)=\int_{1}^{5}x\cdot\frac{1}{4}dx$
  根据积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C$（$n\neq -1$），可得：
  $E(X)=\frac{1}{4}\int_{1}^{5}x dx$
  $=\frac{1}{4}\left[\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{5}$
  $=\frac{1}{4}\left(\frac{5^2}{2}-\frac{1^2}{2}\right)$
  $=\frac{1}{4}\left(\frac{25}{2}-\frac{1}{2}\right)$
  $=\frac{1}{4}\times\frac{24}{2}$
  $= 3$