1.已知f(x)满足2f(x)+f(1-x)=x²，则f(x)=

考查要点：本题主要考查函数方程的解法，通过变量替换构造方程组，进而联立消元求解未知函数。

解题核心思路：

1. 变量替换：将原方程中的变量$x$替换为$1-x$，得到第二个方程。
2. 联立方程：通过联立原方程和替换后的方程，消去$f(1-x)$，解出$f(x)$。
3. 代数运算：注意展开平方项和合并同类项，避免计算错误。

破题关键点：

• 替换变量是关键步骤，通过替换$x$为$1-x$，将原方程中的$f(1-x)$与$f(x)$的位置互换。
• 消元法的应用，通过调整方程系数消去$f(1-x)$，得到关于$f(x)$的一元一次方程。

步骤1：构造第二个方程
将原方程中的$x$替换为$1-x$，得到：
$2f(1-x) + f(x) = (1-x)^2 = 1 - 2x + x^2$

步骤2：联立方程组
原方程为：
$2f(x) + f(1-x) = x^2 \quad \text{(1)}$
替换后的方程为：
$2f(1-x) + f(x) = 1 - 2x + x^2 \quad \text{(2)}$

步骤3：消去$f(1-x)$
将方程(1)乘以2，得到：
$4f(x) + 2f(1-x) = 2x^2 \quad \text{(3)}$
用方程(3)减去方程(2)：
$\begin{aligned}4f(x) + 2f(1-x) - [2f(1-x) + f(x)] &= 2x^2 - (1 - 2x + x^2) \\3f(x) &= x^2 + 2x - 1\end{aligned}$

步骤4：解出$f(x)$
$f(x) = \frac{1}{3}(x^2 + 2x - 1) = \frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}$