单选题（共55题，55.0分）31. (1.0分) }0&0&0&30&0&-1&24&2&-1&50&2&3&1=( )A 24B -24C 12D -12
题目解答
答案
为了求解这个4x4行列式，我们可以使用行列式的性质来简化计算。观察给定的行列式：
$\begin{vmatrix}0 & 0 & 0 & 3 \\0 & 0 & -1 & 2 \\4 & 2 & -1 & 5 \\0 & 2 & 3 & 1\end{vmatrix}$
我们注意到第一列除了第三个元素外，其他都是0。这意味着我们可以沿着第一列展开行列式，这样可以大大简化计算。行列式沿着第一列展开的公式为：
$\text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{21}C_{21} + a_{31}C_{31} + a_{41}C_{41}$
其中，$a_{ij}$ 是矩阵的元素，$C_{ij}$ 是对应的代数余子式。由于 $a_{11} = a_{21} = a_{41} = 0$，这些项对行列式的值没有贡献，因此我们只需要计算 $a_{31}C_{31}$ 这一项。
$\text{det}(A) = 4 \cdot C_{31}$
接下来，我们需要计算 $C_{31}$，即第一列第三行元素的代数余子式。代数余子式 $C_{31}$ 是去掉第一列和第三行后剩余的3x3矩阵的行列式，再乘以 $(-1)^{3+1}$（因为 $i=3$，$j=1$）：
$C_{31} = (-1)^{3+1} \cdot\begin{vmatrix}0 & 0 & 3 \\0 & -1 & 2 \\2 & 3 & 1\end{vmatrix}$
计算3x3行列式：
$\begin{vmatrix}0 & 0 & 3 \\0 & -1 & 2 \\2 & 3 & 1\end{vmatrix}$
我们可以沿着第一行展开这个3x3行列式，因为第一行有两个0，这会进一步简化计算：
$= 0 \cdot\begin{vmatrix}-1 & 2 \\3 & 1\end{vmatrix}- 0 \cdot\begin{vmatrix}0 & 2 \\2 & 1\end{vmatrix}+ 3 \cdot\begin{vmatrix}0 & -1 \\2 & 3\end{vmatrix}$
$= 3 \cdot (0 \cdot 3 - (-1) \cdot 2)$
$= 3 \cdot (0 + 2)$
$= 3 \cdot 2 = 6$
因此，$C_{31} = 6$。代入原行列式的计算中：
$\text{det}(A) = 4 \cdot 6 = 24$
但是，我们还需要考虑代数余子式的符号，因为 $C_{31} = (-1)^{3+1} \cdot 6 = 1 \cdot 6 = 6$，所以最终结果是：
$\text{det}(A) = 4 \cdot 6 = 24$
因此，正确答案是 A 24。
解析
本题考查行列式的计算，解题思路是利用行列式按列展开的性质来简化计算。当行列式某一列（行）中大部分元素为 0 时，按该列（行）展开可以减少计算量。
- 观察给定的 4x4 行列式$\begin{vmatrix}0 & 0 & 0 & 3 \\0 & 0 & -1 & 2 \\4 & 2 & -1 & 5 \\0 & 2 & 3 & 1\end{vmatrix}$，发现第一列除了第三个元素$a_{31}=4$外，其他元素$a_{11}=0$，$a_{21}=0$，$a_{41}=0$。
- 根据行列式按列展开公式$\text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{21}C_{21} + a_{31}C_{31} + a_{41}C_{41}$，由于$a_{11} = a_{21} = a_{41} = 0$，所以$\text{det}(A) = 4 \cdot C_{31}$。
- 计算代数余子式$C_{31}$，根据代数余子式的定义$C_{ij}=(-1)^{i + j}M_{ij}$（其中$M_{ij}$是去掉第$i$行和第$j$列后剩余的子行列式），可得$C_{31} = (-1)^{3+1} \cdot\begin{vmatrix}0 & 0 & 3 \\0 & -1 & 2 \\2 & 3 & 1\end{vmatrix}$。
- 计算 3x3 行列式$\begin{vmatrix}0 & 0 & 3 \\0 & -1 & 2 \\2 & 3 & 1\end{vmatrix}$，按第一行展开，因为第一行有两个 0，可简化计算：
- 根据行列式按行展开公式$\text{det}(B) = b_{11}C_{11} + b_{12}C_{12} + b_{13}C_{13}$（这里$B$是 3x3 矩阵），可得$\begin{vmatrix}0 & 0 & 3 \\0 & -1 & 2 \\2 & 3 & 1\end{vmatrix}= 0 \cdot\begin{vmatrix}-1 & 2 \\3 & 1\end{vmatrix}- 0 \cdot\begin{vmatrix}0 & 2 \\2 & 1\end{vmatrix}+ 3 \cdot\begin{vmatrix}0 & -1 \\2 & 3\end{vmatrix}$。
- 计算$3 \cdot\begin{vmatrix}0 & -1 \\2 & 3\end{vmatrix}= 3 \cdot (0 \cdot 3 - (-1) \cdot 2)= 3 \cdot (0 + 2)= 3 \cdot 2 = 6$。
- 所以$C_{31} = (-1)^{3+1} \cdot 6 = 1 \cdot 6 = 6$。
- 最后计算原行列式的值$\text{det}(A) = 4 \cdot 6 = 24$。