题目
函数 f(x) 的导数是 sin x ，则 f(x) 的一个原函数是（）A. -sin x + CB. -sin x + CxC. -sin x + Cx + C_1D. -cos x
函数 $ f(x) $ 的导数是 $ \sin x $，则 $ f(x) $ 的一个原函数是（）
A. $-\sin x + C$
B. $-\sin x + Cx$
C. $-\sin x + Cx + C_1$
D. $-\cos x$
题目解答
答案
我们来一步一步分析这道题：
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### **题目：**
函数 $ f(x) $ 的导数是 $ \sin x $，即：
$$
f'(x) = \sin x
$$
要求找出 $ f(x) $ 的一个原函数。
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### **解题思路：**
我们已知的是：
$$
f'(x) = \sin x
$$
要求的是：
$$
f(x) = \int f'(x) \, dx = \int \sin x \, dx
$$
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### **计算积分：**
$$
\int \sin x \, dx = -\cos x + C
$$
所以：
$$
f(x) = -\cos x + C
$$
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### **结论：**
因此，函数 $ f(x) $ 的一个原函数是：
$$
\boxed{-\cos x + C}
$$
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### **选项分析：**
我们来看一下各个选项：
- **A.** $-\sin x + C$：错误，因为 $\frac{d}{dx}(-\sin x) = -\cos x \ne \sin x$
- **B.** $-\sin x + Cx$：错误，导数是 $-\cos x + C \ne \sin x$
- **C.** $-\sin x + Cx + C_1$：错误，导数是 $-\cos x + C \ne \sin x$
- **D.** $-\cos x$：**正确**，因为 $\frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x$
注意：虽然选项 D 没有加任意常数 $ C $，但题目问的是“一个原函数”，所以不需要写出通解，只要写出一个满足条件的函数即可。
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### ✅ **最终答案：**
$$
\boxed{\text{D. } -\cos x}
$$
解析
本题考查导数与原函数的关系以及不定积分的计算。解题思路是先根据已知条件求出函数$f(x)$的表达式，再分析原函数的形式。
- 已知$f^\prime(x)=\sin x$，根据不定积分的定义，$f(x)=\int f^\prime(x)dx=\int\sin xdx$。
- 计算不定积分$\int\sin xdx$，根据积分公式$\int\sin xdx=-\cos x + C$（其中$C$为任意常数），所以$f(x)=-\cos x + C$。
- 原函数是指一个函数的导数等于另一个函数，那么$f(x)$的原函数就是对$f(x)$再次求积分，设$F(x)$是$f(x)$的原函数，则$F(x)=\int f(x)dx=\int(-\cos x + C)dx$。
- 分别计算积分$\int(-\cos x + C)dx=\int(-\cos x)dx+\int Cdx$，根据积分公式$\int(-\cos x)dx=\sin x$，$\int Cdx = Cx + C_1$（其中$C_1$为任意常数），所以$F(x)=\sin x + Cx + C_1$。
- 分析选项，选项A：$-\sin x + C$，对其求导$(-\sin x + C)^\prime=-\cos x\neq\sin x$，所以A选项错误。
- 选项B：$-\sin x + Cx$，对其求导$(-\sin x + Cx)^\prime=-\cos x + C\neq\sin x$，所以B选项错误。
- 选项C：$-\sin x + Cx + C_1$，对其求导$(-\sin x + Cx + C_1)^\prime=-\cos x + C\neq\sin x$，所以C选项错误。
- 选项D：$-\cos x$，对其求导$(-\cos x)^\prime=\sin x$，满足条件，所以D选项正确。