题目

1.[单选题]-|||-1.设 =ln cos x ,则 dy= __ ·-|||-A.secxdx-|||-B. -tan xdx-|||-c.tan xdx-|||-D. -tan x +

题目解答

答案

解析

本题考查复合函数求导以及微分的计算。解题思路是先根据复合函数求导法则求出函数$y = \ln\cos x$的导数$\frac{dy}{dx}$，再根据微分的定义$dy=\frac{dy}{dx}dx$求出$dy$。

  1. 求$y = \ln\cos x$的导数$\frac{dy}{dx}$：
    令$u = \cos x$，则$y = \ln u$。
    根据复合函数求导法则：若$y = f(u)$，$u = g(x)$，则$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$。
    • 先对$y = \ln u$关于$u$求导，根据求导公式$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，可得$\frac{dy}{du}=\frac{1}{u}$。
    • 再对$u = \cos x$关于$x$求导，根据求导公式$(\cos x)^\prime=-\sin x$，可得$\frac{du}{dx}=-\sin x$。
    • 所以$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=\frac{1}{u}\cdot(-\sin x)$，将$u = \cos x$代回，得到$\frac{dy}{dx}=\frac{-\sin x}{\cos x}$。
  2. 根据三角函数关系化简$\frac{dy}{dx}$：
    根据三角函数关系$\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x$，可得$\frac{dy}{dx}=-\tan x$。
  3. 求$dy$：
    根据微分的定义$dy=\frac{dy}{dx}dx$，将$\frac{dy}{dx}=-\tan x$代入，可得$dy = -\tan xdx$。