题目
把下面的函数约分.(1) (x+2)/(x);(2) (4x^2-1)/(x);(3) (x^2-x)/(x(x+2));(4) (x+2)/(x+1);(5) (3x^2+6x+1)/(3x^2+1).
把下面的函数约分. (1) $\frac{x+2}{x}$; (2) $\frac{4x^2-1}{x}$; (3) $\frac{x^2-x}{x(x+2)}$; (4) $\frac{x+2}{x+1}$; (5) $\frac{3x^2+6x+1}{3x^2+1}$.
题目解答
答案
我们来逐个分析并约分这些代数式。所谓“约分”，是指通过因式分解、提取公因式等方法，将分子和分母中可以约去的相同部分进行化简。
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### (1) $\frac{x+2}{x}$
这个分式已经是最简形式，**无法约分**，因为分子 $x+2$ 和分母 $x$ 没有共同因式。
**答案：** $\boxed{\frac{x+2}{x}}$
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### (2) $\frac{4x^2 - 1}{x}$
我们先观察分子 $4x^2 - 1$，这是一个**平方差公式**：
$$
4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x - 1)(2x + 1)
$$
所以原式变为：
$$
\frac{(2x - 1)(2x + 1)}{x}
$$
分母是 $x$，分子是 $(2x - 1)(2x + 1)$，没有共同因式，所以无法进一步约分。
**答案：** $\boxed{\frac{(2x - 1)(2x + 1)}{x}}$
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### (3) $\frac{x^2 - x}{x(x+2)}$
先对分子 $x^2 - x$ 提取公因式：
$$
x^2 - x = x(x - 1)
$$
所以原式变为：
$$
\frac{x(x - 1)}{x(x + 2)}
$$
分子和分母都有一个共同因式 $x$，可以约掉：
$$
\frac{x(x - 1)}{x(x + 2)} = \frac{x - 1}{x + 2}
$$
**答案：** $\boxed{\frac{x - 1}{x + 2}}$
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### (4) $\frac{x+2}{x+1}$
这个分式已经是最简形式，**无法约分**，因为分子 $x+2$ 和分母 $x+1$ 没有共同因式。
**答案：** $\boxed{\frac{x+2}{x+1}}$
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### (5) $\frac{3x^2 + 6x + 1}{3x^2 + 1}$
我们分别看分子和分母：
- 分子：$3x^2 + 6x + 1$，无法因式分解成整数系数的因式。
- 分母：$3x^2 + 1$，也无法因式分解。
两者之间没有公共因式，所以无法约分。
**答案：** $\boxed{\frac{3x^2 + 6x + 1}{3x^2 + 1}}$
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### 总结答案：
1. $\boxed{\frac{x+2}{x}}$
2. $\boxed{\frac{(2x - 1)(2x + 1)}{x}}$
3. $\boxed{\frac{x - 1}{x + 2}}$
4. $\boxed{\frac{x+2}{x+1}}$
5. $\boxed{\frac{3x^2 + 6x + 1}{3x^2 + 1}}$
解析
约分的核心思路是通过因式分解，找到分子和分母的公共因式并约去。解题时需注意：
- 观察分子和分母的结构，优先尝试因式分解；
- 平方差公式（如$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$）是常用工具；
- 若分子或分母无法分解或无公共因式，则分式已是最简形式。
第（1）题
分子 $x+2$ 和分母 $x$ 均为一次多项式，且无公共因式，无法约分。
第（2）题
- 分解分子：$4x^2 - 1 = (2x)^2 - 1^2 = (2x-1)(2x+1)$；
- 分母为 $x$，与分子无公共因式，无法约分。
第（3）题
- 分解分子：$x^2 - x = x(x-1)$；
- 约分：$\frac{x(x-1)}{x(x+2)} = \frac{x-1}{x+2}$。
第（4）题
分子 $x+2$ 和分母 $x+1$ 均为一次多项式，且无公共因式，无法约分。
第（5）题
- 检查分子和分母：$3x^2 + 6x + 1$ 和 $3x^2 + 1$ 均无法因式分解；
- 无公共因式，无法约分。