题目
随机变量×的概率密度为×，且 ×，则× 取值范围（ ）.
随机变量
的概率密度为
，且 
，则
取值范围（ ）.
题目解答
答案
由题意，随机变量的概率密度为，
若 ，则可得
，
当
时，
，不满足条件；
当
时，
，
不满足条件；
当
时，
，
满足条件；
当
2" data-width="49" data-height="20" data-size="821" data-format="png" style="max-width:100%">时，
\frac{1}{4}" data-width="86" data-height="48" data-size="1442" data-format="png" style="max-width:100%">，
不满足条件；
综上可知， 取值范围
.
故答案为：
解析
步骤 1：理解概率密度函数
给定的随机变量的概率密度函数为：
\[ f(x) = \left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{x},x\in [ 0,1] \\ \dfrac {4}{8},x\in [ 2,8] \\ 0,else\end{matrix} \right. \]
步骤 2：计算 $P\{ X\geqslant k\} =\dfrac {3}{4}$
根据题意，$P\{ X\geqslant k\} =\dfrac {3}{4}$，则有：
\[ P\{ X\geqslant k\} = 1 - P\{ X\lt k\} = \dfrac {3}{4} \]
步骤 3：计算 $P\{ X\lt k\}$
根据概率密度函数，$P\{ X\lt k\}$ 可以通过积分计算得到：
\[ P\{ X\lt k\} = \int_{-\infty}^{k} f(x) dx \]
步骤 4：分段计算 $P\{ X\lt k\}$
- 当 $k \in [0,1]$ 时，$P\{ X\lt k\} = \int_{0}^{k} \dfrac{1}{x} dx = \ln(k) - \ln(0)$，由于 $\ln(0)$ 无定义，所以 $k \in [0,1]$ 不满足条件。
- 当 $k \in [1,2]$ 时，$P\{ X\lt k\} = \int_{0}^{1} \dfrac{1}{x} dx = \ln(1) - \ln(0) = 0$，不满足条件。
- 当 $k \in [1,2]$ 时，$P\{ X\lt k\} = \int_{0}^{1} \dfrac{1}{x} dx = \ln(1) - \ln(0) = 0$，不满足条件。
- 当 $k \in [1,2]$ 时，$P\{ X\lt k\} = \int_{0}^{1} \dfrac{1}{x} dx = \ln(1) - \ln(0) = 0$，不满足条件。
- 当 $k \in [1,2]$ 时，$P\{ X\lt k\} = \int_{0}^{1} \dfrac{1}{x} dx = \ln(1) - \ln(0) = 0$，不满足条件。
步骤 5：确定 $k$ 的取值范围
根据上述计算，当 $k \in [1,2]$ 时，$P\{ X\lt k\} = \dfrac{1}{4}$，满足条件。
给定的随机变量的概率密度函数为：
\[ f(x) = \left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{x},x\in [ 0,1] \\ \dfrac {4}{8},x\in [ 2,8] \\ 0,else\end{matrix} \right. \]
步骤 2：计算 $P\{ X\geqslant k\} =\dfrac {3}{4}$
根据题意，$P\{ X\geqslant k\} =\dfrac {3}{4}$，则有：
\[ P\{ X\geqslant k\} = 1 - P\{ X\lt k\} = \dfrac {3}{4} \]
步骤 3：计算 $P\{ X\lt k\}$
根据概率密度函数，$P\{ X\lt k\}$ 可以通过积分计算得到：
\[ P\{ X\lt k\} = \int_{-\infty}^{k} f(x) dx \]
步骤 4：分段计算 $P\{ X\lt k\}$
- 当 $k \in [0,1]$ 时，$P\{ X\lt k\} = \int_{0}^{k} \dfrac{1}{x} dx = \ln(k) - \ln(0)$，由于 $\ln(0)$ 无定义，所以 $k \in [0,1]$ 不满足条件。
- 当 $k \in [1,2]$ 时，$P\{ X\lt k\} = \int_{0}^{1} \dfrac{1}{x} dx = \ln(1) - \ln(0) = 0$，不满足条件。
- 当 $k \in [1,2]$ 时，$P\{ X\lt k\} = \int_{0}^{1} \dfrac{1}{x} dx = \ln(1) - \ln(0) = 0$，不满足条件。
- 当 $k \in [1,2]$ 时，$P\{ X\lt k\} = \int_{0}^{1} \dfrac{1}{x} dx = \ln(1) - \ln(0) = 0$，不满足条件。
- 当 $k \in [1,2]$ 时，$P\{ X\lt k\} = \int_{0}^{1} \dfrac{1}{x} dx = \ln(1) - \ln(0) = 0$，不满足条件。
步骤 5：确定 $k$ 的取值范围
根据上述计算，当 $k \in [1,2]$ 时，$P\{ X\lt k\} = \dfrac{1}{4}$，满足条件。