某商店有100台相同型号的冰箱待售，其中60台是甲厂生产的，25台是乙厂生产的，15台是丙厂生产的。已知这三个厂生产的冰箱质量不同，它们的不合格率依次为2%，4%，2%。现有一位顾客从这批冰箱中随机的抽取了一台，开箱测试后发现冰箱不合格，试问这台冰箱是来自甲厂的概率是多少？

我们来一步一步地分析和解决这个问题。

题目解析：

• 商店共有 100 台冰箱：

  • 甲厂：60 台，不合格率 2%
  • 乙厂：25 台，不合格率 4%
  • 丙厂：15 台，不合格率 2%

• 顾客随机抽取一台冰箱，发现是不合格品。

• 问：这台冰箱来自甲厂的概率是多少？

解题思路：

这是一个典型的贝叶斯概率问题，我们要计算的是在已知冰箱不合格的条件下，它来自甲厂的概率，即：

$P(\text{甲厂} \mid \text{不合格})$

根据贝叶斯定理：

$P(\text{甲厂} \mid \text{不合格}) = \frac{P(\text{不合格} \mid \text{甲厂}) \cdot P(\text{甲厂})}{P(\text{不合格})}$

第一步：计算各部分概率

1. 各厂冰箱数量占比（即先验概率）

• $P(\text{甲厂}) = \frac{60}{100} = 0.6$
• $P(\text{乙厂}) = \frac{25}{100} = 0.25$
• $P(\text{丙厂}) = \frac{15}{100} = 0.15$

2. 各厂不合格率（即条件概率）

• $P(\text{不合格} \mid \text{甲厂}) = 0.02$
• $P(\text{不合格} \mid \text{乙厂}) = 0.04$
• $P(\text{不合格} \mid \text{丙厂}) = 0.02$

3. 全概率公式计算 $P(\text{不合格})$

$P(\text{不合格}) = P(\text{不合格} \mid \text{甲厂}) \cdot P(\text{甲厂}) + P(\text{不合格} \mid \text{乙厂}) \cdot P(\text{乙厂}) + P(\text{不合格} \mid \text{丙厂}) \cdot P(\text{丙厂})$

$= 0.02 \cdot 0.6 + 0.04 \cdot 0.25 + 0.02 \cdot 0.15 = 0.012 + 0.01 + 0.003 = 0.025$

第二步：代入贝叶斯公式计算

$P(\text{甲厂} \mid \text{不合格}) = \frac{0.02 \cdot 0.6}{0.025} = \frac{0.012}{0.025} = 0.48$

最终答案：

$\boxed{0.48}$

即：在已知冰箱不合格的情况下，它来自甲厂的概率是 48%。