题目

求曲线=cos x上点=cos x处的切线方程和法线方程。求下列函数的导数:(1)=cos x(2)=cos x (3)=cos x (4)=cos x; (5)=cos x; (6)=cos x ; (7)=cos x; (8)=cos x

求曲线 $y=\cos x$ 上点 $\left(\frac{\pi}{3},\frac{1}{2}\right)$ 处的切线方程和法线方程。

求下列函数的导数:

(1) $y=5x^3-2^x+3e^x$

(2) $y=(2+3x)(4-7x)$

(3) $y=\frac{2\csc x}{1+x^2}$

(4) $y=(\arcsin\frac{x}{2})^2$ ;

(5) $y=\ln\tan\frac{x}{2}$ ;

(6) $y=e^{\arctan\sqrt{x}}$ ;

(7) $y=\sin^2x\sin x^2$ ;

(8) $y=x\arcsin\frac{x}{2}+\sqrt{4-x^2}$

题目解答

答案

解：

由题意得

$y'=-\sin x$

∴点 $\left(\frac{\pi}{3},\frac{1}{2}\right)$ 处切线斜率为 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，法线斜率为 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

∴切线方程为 $y-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$

即 $y=-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3+\sqrt{3}\pi}{6}$

∴法线方程为 $y=\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\frac{9-4\sqrt{3}\pi}{18}$

直接进行求导数

（1） $y'=15x^2-2^x\ln2+3e^x$

（2） $y'=-42x-2$

（3） $y'=-\frac{2\csc x\left[\left(1+x^2\right)\cot x+2x\right]}{\left(1+x^2\right)^2}$

（4） $y'=2\arctan\frac{x}{2}\frac{1}{1+\frac{x^2}{4}}\frac{1}{2}=\frac{4}{x^2+4}\arctan\frac{x}{2}$

（5） $y'=\frac{1}{2\tan\frac{x}{2}}\sec^2\frac{x}{2}$

（6） $y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}e^{\arctan\sqrt{x}}\frac{1}{1+x}$

（7） $y'=\sin2x\sin x^2+2x\sin^2x\cos x^2$

（8） $y'=\arcsin\frac{x}{2}+x\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{4-x^2}}\left(-2x\right)$

解析

步骤 1：求导数
首先，我们需要求出$y=\cos x$的导数，以确定曲线在给定点处的斜率。$y'=-\sin x$。
步骤 2：计算斜率
在点$(\dfrac {\pi }{3},\dfrac {1}{2})$处，斜率为$y'=-\sin \dfrac {\pi }{3}=-\dfrac {\sqrt {3}}{2}$。
步骤 3：求切线方程
切线方程为$y-y_1=m(x-x_1)$，其中$m$是斜率，$(x_1,y_1)$是给定点。将$m=-\dfrac {\sqrt {3}}{2}$和$(x_1,y_1)=(\dfrac {\pi }{3},\dfrac {1}{2})$代入，得到$y-\dfrac {1}{2}=-\dfrac {\sqrt {3}}{2}(x-\dfrac {\pi }{3})$，化简得$y=-\dfrac {\sqrt {3}}{2}x+\dfrac {3+\sqrt {3}\pi }{6}$。
步骤 4：求法线方程
法线方程的斜率是切线斜率的负倒数，即$m_{法}=\dfrac {2\sqrt {3}}{3}$。将$m_{法}=\dfrac {2\sqrt {3}}{3}$和$(x_1,y_1)=(\dfrac {\pi }{3},\dfrac {1}{2})$代入$y-y_1=m_{法}(x-x_1)$，得到$y-\dfrac {1}{2}=\dfrac {2\sqrt {3}}{3}(x-\dfrac {\pi }{3})$，化简得$y=\dfrac {2\sqrt {3}}{3}x+\dfrac {9-4\sqrt {3}\pi }{18}$。