题目

3.一整数X随机地在2,3,4三个整数中取一个值，另一整数Y随机地在2-X中取一值，试求(X,Y)的联合分布律.

题目解答

答案

为了求出随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合分布律，我们需要确定 $X$ 和 $Y$ 的每种可能组合的概率。让我们一步步来分析。 1. **确定 $X$ 的可能值及其概率：** - $X$ 可以取值 2, 3, 或 4。 - 由于 $X$ 随机地在 2, 3, 4 中取值，因此 $X$ 的每个值的概率都是 $\frac{1}{3}$。 2. **确定给定 $X$ 的 $Y$ 的可能值：** - 如果 $X = 2$，那么 $Y$ 可以取值 2。 - 如果 $X = 3$，那么 $Y$ 可以取值 2, 3。 - 如果 $X = 4$，那么 $Y$ 可以取值 2, 3, 4。 3. **计算每种组合 $(X, Y)$ 的概率：** - $P(X = 2, Y = 2)$：由于 $X = 2$ 时 $Y$ 只能是 2，因此 $P(Y = 2 \mid X = 2) = 1$。因此，$P(X = 2, Y = 2) = P(X = 2) \cdot P(Y = 2 \mid X = 2) = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$。 - $P(X = 3, Y = 2)$：由于 $X = 3$ 时 $Y$ 可以是 2 或 3，因此 $P(Y = 2 \mid X = 3) = \frac{1}{2}$。因此，$P(X = 3, Y = 2) = P(X = 3) \cdot P(Y = 2 \mid X = 3) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$。 - $P(X = 3, Y = 3)$：由于 $X = 3$ 时 $Y$ 可以是 2 或 3，因此 $P(Y = 3 \mid X = 3) = \frac{1}{2}$。因此，$P(X = 3, Y = 3) = P(X = 3) \cdot P(Y = 3 \mid X = 3) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$。 - $P(X = 4, Y = 2)$：由于 $X = 4$ 时 $Y$ 可以是 2, 3, 或 4，因此 $P(Y = 2 \mid X = 4) = \frac{1}{3}$。因此，$P(X = 4, Y = 2) = P(X = 4) \cdot P(Y = 2 \mid X = 4) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$。 - $P(X = 4, Y = 3)$：由于 $X = 4$ 时 $Y$ 可以是 2, 3, 或 4，因此 $P(Y = 3 \mid X = 4) = \frac{1}{3}$。因此，$P(X = 4, Y = 3) = P(X = 4) \cdot P(Y = 3 \mid X = 4) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$。 - $P(X = 4, Y = 4)$：由于 $X = 4$ 时 $Y$ 可以是 2, 3, 或 4，因此 $P(Y = 4 \mid X = 4) = \frac{1}{3}$。因此，$P(X = 4, Y = 4) = P(X = 4) \cdot P(Y = 4 \mid X = 4) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$。 4. **将结果表示为联合分布律表：** \[ \begin{array}{c|ccc} & Y=2 & Y=3 & Y=4 \\ \hline X=2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ X=3 & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & 0 \\ X=4 & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} \\ \end{array} \] 因此，$(X, Y)$ 的联合分布律是： \[ \boxed{ \begin{array}{c|ccc} & Y=2 & Y=3 & Y=4 \\ \hline X=2 & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ X=3 & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & 0 \\ X=4 & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} \\ \end{array} } \]

解析

考查要点：本题主要考查联合分布律的求解方法，需要结合条件概率和全概率公式进行分析。

解题核心思路：

确定变量取值范围：先明确随机变量$X$和$Y$的可能取值。
分析条件概率：对于每个$X$的取值，确定$Y$的可能取值及对应的条件概率。
计算联合概率：利用公式$P(X=x,Y=y) = P(X=x) \cdot P(Y=y \mid X=x)$计算每对$(x,y)$的概率。

破题关键点：

分情况讨论：根据$X$的不同取值，分别分析$Y$的可能取值。
均匀分布假设：题目中未明确说明时，默认$Y$在$2$到$X$之间的整数上等概率取值。

步骤1：确定$X$的取值及概率

$X$的可能取值为$2,3,4$，每个值的概率均为$\frac{1}{3}$。

步骤2：分析$Y$的取值范围

当$X=2$时：$Y$只能取$2$，概率为$1$。
当$X=3$时：$Y$可取$2,3$，每个值的概率为$\frac{1}{2}$。
当$X=4$时：$Y$可取$2,3,4$，每个值的概率为$\frac{1}{3}$。

步骤3：计算联合概率

$X=2$的情况：
- $P(X=2,Y=2) = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$。
- $Y=3$和$Y=4$的概率为$0$。
$X=3$的情况：
- $P(X=3,Y=2) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$。
- $P(X=3,Y=3) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$。
- $Y=4$的概率为$0$。
$X=4$的情况：
- $P(X=4,Y=2) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$。
- $P(X=4,Y=3) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$。
- $P(X=4,Y=4) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$。

步骤4：整理联合分布律表

将所有非零概率填入表格，其余情况概率为$0$。