两台车床加工同样的零件，第一台出现不合格品的概率是 0.03，第二台出现不合格品的概率是 0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍。(1) 求任取一个零件是合格品的概率；(2) 如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率。

我们来逐步解决这个概率问题。

题目已知条件：

• 第一台车床加工的零件不合格概率：$ P(\text{不合格} \mid A_1) = 0.03 $
• 第二台车床加工的零件不合格概率：$ P(\text{不合格} \mid A_2) = 0.06 $
• 第一台加工的零件数量是第二台的 两倍。
• 零件混合在一起，随机抽取。

设：

• $ A_1 $：零件由第一台车床加工
• $ A_2 $：零件由第二台车床加工
• $ B $：抽到的零件是不合格品
• $ \bar{B} $：抽到的零件是合格品

(1) 求任取一个零件是合格品的概率

第一步：确定先验概率（即零件来自哪台车床的概率）

设第二台加工了 $ x $ 个零件，则第一台加工了 $ 2x $ 个零件。

总零件数：$ 2x + x = 3x $

所以：

• $ P(A_1) = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3} $
• $ P(A_2) = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3} $

第二步：计算合格品的概率

合格品的概率 = 来自第一台且合格的概率 + 来自第二台且合格的概率

• 第一台合格概率：$ 1 - 0.03 = 0.97 $
• 第二台合格概率：$ 1 - 0.06 = 0.94 $

所以：

$P(\bar{B}) = P(A_1) \cdot P(\bar{B} \mid A_1) + P(A_2) \cdot P(\bar{B} \mid A_2)$

$P(\bar{B}) = \frac{2}{3} \times 0.97 + \frac{1}{3} \times 0.94$

计算：

$= \frac{2 \times 0.97 + 1 \times 0.94}{3} = \frac{1.94 + 0.94}{3} = \frac{2.88}{3} = 0.96$

答：(1) 任取一个零件是合格品的概率是 $ \boxed{0.96} $

(2) 如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率

即求：$ P(A_2 \mid B) $

使用贝叶斯公式：

$P(A_2 \mid B) = \frac{P(B \mid A_2) \cdot P(A_2)}{P(B)}$

我们已经知道：

• $ P(B \mid A_2) = 0.06 $
• $ P(A_2) = \frac{1}{3} $
• $ P(B) = 1 - P(\bar{B}) = 1 - 0.96 = 0.04 $

也可以直接计算 $ P(B) $ 验证：

$P(B) = P(A_1) \cdot P(B \mid A_1) + P(A_2) \cdot P(B \mid A_2) = \frac{2}{3} \times 0.03 + \frac{1}{3} \times 0.06 = \frac{0.06 + 0.06}{3} = \frac{0.12}{3} = 0.04$

正确。

代入贝叶斯公式：

$P(A_2 \mid B) = \frac{0.06 \times \frac{1}{3}}{0.04} = \frac{0.02}{0.04} = 0.5$

答：(2) 如果取出的零件是不合格品，它是第二台加工的概率是 $ \boxed{0.5} $

✅ 最终答案：

(1) $ \boxed{0.96} $

(2) $ \boxed{0.5} $